题目
在曲面z=xy上求一点, 使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0, 并写出这法线的方程。
在曲面$$z=xy$$上求一点, 使这点处的法线垂直于平面$$x+3y+z+9=0$$, 并写出这法线的方程。
题目解答
答案
解：已知平面的法线向量为$$\overrightarrow{n_0} =(1, 3, 1)$$.
设所求的点为$$(x_0, y_0, z_0)$$, 则曲面在该点的法向量为$$\overrightarrow{n}=(y_0, x_0, -1)$$.
由题意知:
$$\overrightarrow{n} ∥\overrightarrow{n_0}$$，即$$\frac{y_0}{1} =\frac{x_0}{3}=\frac{-1}{1}$$,
于是$$x_0=-3, y_0=-1, z_0=x_0y_0=3$$,
即所求点为$$(-3, -1, 3)$$, 法线方程为$$\frac{x+3}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{1}$$.
解析
步骤 1：确定平面的法线向量
已知平面的方程为$$x+3y+z+9=0$$，其法线向量为$$\overrightarrow{n_0} =(1, 3, 1)$$.
步骤 2：确定曲面在某点的法向量
设所求的点为$$(x_0, y_0, z_0)$$，则曲面$$z=xy$$在该点的法向量为$$\overrightarrow{n}=(y_0, x_0, -1)$$.
步骤 3：利用法线向量平行条件求解点坐标
由题意知，曲面在该点的法向量$$\overrightarrow{n}$$与平面的法线向量$$\overrightarrow{n_0}$$平行，即$$\overrightarrow{n} ∥\overrightarrow{n_0}$$，因此有$$\frac{y_0}{1} =\frac{x_0}{3}=\frac{-1}{1}$$，解得$$x_0=-3, y_0=-1$$，代入曲面方程$$z=xy$$得$$z_0=x_0y_0=3$$.
步骤 4：写出法线方程
根据点$$(x_0, y_0, z_0)$$和法向量$$\overrightarrow{n}$$，可以写出法线方程为$$\frac{x+3}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{1}$$.
已知平面的方程为$$x+3y+z+9=0$$，其法线向量为$$\overrightarrow{n_0} =(1, 3, 1)$$.
步骤 2：确定曲面在某点的法向量
设所求的点为$$(x_0, y_0, z_0)$$，则曲面$$z=xy$$在该点的法向量为$$\overrightarrow{n}=(y_0, x_0, -1)$$.
步骤 3：利用法线向量平行条件求解点坐标
由题意知，曲面在该点的法向量$$\overrightarrow{n}$$与平面的法线向量$$\overrightarrow{n_0}$$平行，即$$\overrightarrow{n} ∥\overrightarrow{n_0}$$，因此有$$\frac{y_0}{1} =\frac{x_0}{3}=\frac{-1}{1}$$，解得$$x_0=-3, y_0=-1$$，代入曲面方程$$z=xy$$得$$z_0=x_0y_0=3$$.
步骤 4：写出法线方程
根据点$$(x_0, y_0, z_0)$$和法向量$$\overrightarrow{n}$$，可以写出法线方程为$$\frac{x+3}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{1}$$.