微分方程 cos x sin y (dy)/(dx) = sin x cos y 通解为() A)cos y = C cos x B)sin y = C sin x C)cos y = cos Cx D)sin y = sin Cx

为了解微分方程 $\cos x \sin y \frac{dy}{dx} = \sin x \cos y$，我们将使用分离变量法。以下是解题步骤： 1. **分离变量**：将方程重写，使所有关于 $y$ 的项位于方程的一边，所有关于 $x$ 的项位于另一边。 \[ \cos x \sin y \frac{dy}{dx} = \sin x \cos y \] 两边同时除以 $\sin y \cos y$ 和 $\cos x$： \[ \frac{\sin y}{\cos y} \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{\cos x} \] 这简化为： \[ \tan y \frac{dy}{dx} = \tan x \] 现在，将变量分离： \[ \tan y \, dy = \tan x \, dx \] 2. **两边积分**：积分方程的两边。 \[ \int \tan y \, dy = \int \tan x \, dx \] $\tan y$ 的积分是 $-\ln|\cos y|$（或 $\ln|\sec y|$），$\tan x$ 的积分是 $-\ln|\cos x|$（或 $\ln|\sec x|$）。因此，我们有： \[ -\ln|\cos y| = -\ln|\cos x| + C_1 \] 或者等价地： \[ \ln|\sec y| = \ln|\sec x| + C_1 \] 其中 $C_1$ 是积分常数。为了简化，我们可以将 $C_1$ 重写为 $\ln|C|$，其中 $C$ 是另一个常数： \[ \ln|\sec y| = \ln|\sec x| + \ln|C| \] 利用对数的性质，$\ln a + \ln b = \ln(ab)$，我们得到： \[ \ln|\sec y| = \ln|C \sec x| \] 对两边进行指数运算，以消除对数，我们得到： \[ \sec y = C \sec x \] 由于 $\sec y = \frac{1}{\cos y}$ 和 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$，我们可以重写为： \[ \frac{1}{\cos y} = C \frac{1}{\cos x} \] 或者等价地： \[ \cos y = \frac{\cos x}{C} \] 设 $C' = \frac{1}{C}$，则我们有： \[ \cos y = C' \cos x \] 由于 $C'$ 只是一个常数，我们可以将其重写为 $C$： \[ \cos y = C \cos x \] 因此，微分方程的通解是 $\cos y = C \cos x$。 正确答案是 $\boxed{A}$。