题目
(40 ) int dfrac (dx)(1+sqrt {2x)};
题目解答
答案
解析】设t=√2x,则x=t2/2,dx=tdt原式=∫tdt/(1+t)=∫1/(1+t)dt+∫td(1+t)=ln|1+t|-1/2ln(1+t)2+C=ln|1+t|-ln(1+t)+C=ln|1+t1+t|+C=ln|1+√2x|+C
解 设$t=\sqrt {2x}$，则$x=\dfrac{t^2}{2}$，$dx=tdt$原式$=\int \dfrac{tdt}{1+t}$$=\int \dfrac{1}{1+t}dt+\int \dfrac{1}{1+t}tdt$$=ln|1+t|-\dfrac{1}{2}ln(1+t)^2+C$$=ln|1+t|-ln(1+t)+C$$=ln|\dfrac{1+t}{1+t}|+C$$=ln|1+\sqrt {2x}|+C$$ln|1+\sqrt {2x}|+C$
解 设$t=\sqrt {2x}$，则$x=\dfrac{t^2}{2}$，$dx=tdt$原式$=\int \dfrac{tdt}{1+t}$$=\int \dfrac{1}{1+t}dt+\int \dfrac{1}{1+t}tdt$$=ln|1+t|-\dfrac{1}{2}ln(1+t)^2+C$$=ln|1+t|-ln(1+t)+C$$=ln|\dfrac{1+t}{1+t}|+C$$=ln|1+\sqrt {2x}|+C$$ln|1+\sqrt {2x}|+C$
解析
考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过换元法处理含有根号的积分表达式。
解题核心思路：
- 换元法：通过令$t = \sqrt{2x}$，将原积分转化为关于$t$的更简单的积分形式。
- 分式拆分：将分式$\dfrac{t}{1+t}$拆分为容易积分的形式，如$1 - \dfrac{1}{1+t}$，从而简化计算。
- 回代变量：将积分结果中的变量$t$替换回原变量$x$，得到最终答案。
破题关键点：
- 正确选择换元：选择$t = \sqrt{2x}$，使得根号部分简化，积分表达式更易处理。
- 分式拆分技巧：将分子$t$表示为$(1+t) - 1$，从而将分式拆分为两个简单分式的差。
步骤1：换元法简化积分
设$t = \sqrt{2x}$，则：
$x = \dfrac{t^2}{2}, \quad dx = t \, dt$
原积分变为：
$\int \dfrac{dx}{1+\sqrt{2x}} = \int \dfrac{t \, dt}{1+t}$
步骤2：分式拆分与积分
将分式$\dfrac{t}{1+t}$拆分为：
$\dfrac{t}{1+t} = 1 - \dfrac{1}{1+t}$
因此，积分可分解为：
$\int \dfrac{t}{1+t} \, dt = \int 1 \, dt - \int \dfrac{1}{1+t} \, dt$
分别计算两部分：
- $\int 1 \, dt = t + C_1$
- $\int \dfrac{1}{1+t} \, dt = \ln|1+t| + C_2$
步骤3：合并结果并回代变量
合并积分结果：
$t - \ln|1+t| + C$
将$t = \sqrt{2x}$代回，得到最终答案：
$\sqrt{2x} - \ln|1+\sqrt{2x}| + C$