[题目]求二元函数 (x,y)=(x)^2(2+(y)^2)+yln y 的极值.

步骤 1：求一阶偏导数
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)={x}^{2}(2+{y}^{2})+y\ln y$ 的一阶偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
${f}_{x}(x,y)=2x(2+{y}^{2})$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
${f}_{y}(x,y)=2{x}^{2}y+\ln y+1$
步骤 2：求驻点
接下来，我们需要找到函数的驻点，即一阶偏导数同时为零的点。因此，我们需要解方程组：
$2x(2+{y}^{2})=0$
$2{x}^{2}y+\ln y+1=0$
从第一个方程中，我们可以得到 $x=0$ 或 $2+{y}^{2}=0$。由于 $2+{y}^{2}$ 总是正的，因此我们只能得到 $x=0$。将 $x=0$ 代入第二个方程，我们得到：
$\ln y+1=0$
解这个方程，我们得到 $y=\dfrac{1}{e}$。因此，函数的驻点为 $(0,\dfrac{1}{e})$。
步骤 3：判断驻点的性质
为了判断驻点 $(0,\dfrac{1}{e})$ 的性质，我们需要计算二阶偏导数，并使用二元函数极值的判断定理。二阶偏导数为：
${f}_{xx}=2(2+{y}^{2})$
${f}_{yy}=2{x}^{2}+\dfrac{1}{y}$
${f}_{xy}=4xy$
将驻点 $(0,\dfrac{1}{e})$ 代入二阶偏导数，我们得到：
${f}_{xx}(0,\dfrac{1}{e})=2(2+\dfrac{1}{{e}^{2}})$
${f}_{yy}(0,\dfrac{1}{e})=e$
${f}_{xy}(0,\dfrac{1}{e})=0$
根据二元函数极值的判断定理，我们有：
$D={f}_{xx}{f}_{yy}-{f}_{xy}^{2}$
将上述值代入，我们得到：
$D=2(2+\dfrac{1}{{e}^{2}})e-0^{2}=2e(2+\dfrac{1}{{e}^{2}})$
由于 $D>0$ 且 ${f}_{xx}(0,\dfrac{1}{e})>0$，因此驻点 $(0,\dfrac{1}{e})$ 是函数的极小值点。
步骤 4：计算极值
最后，我们需要计算函数在极小值点 $(0,\dfrac{1}{e})$ 的值。将 $(0,\dfrac{1}{e})$ 代入函数 $f(x,y)$，我们得到：
$f(0,\dfrac{1}{e})={0}^{2}(2+{\dfrac{1}{e}}^{2})+\dfrac{1}{e}\ln \dfrac{1}{e}=-\dfrac{1}{e}$