题目

设前提集合 Gamma = P vee Q, P arrow R, Q arrow R，结论 H = R。证明 Gamma Rightarrow H。

设前提集合 $\Gamma = \{P \vee Q, P \rightarrow R, Q \rightarrow R\}$，结论 $H = R$。证明 $\Gamma \Rightarrow H$。

题目解答

答案

根据前提 $P \lor Q$，可分两种情况： 1. 若 $P$ 为真，则由 $P \rightarrow R$ 得 $R$ 为真。 2. 若 $Q$ 为真，则由 $Q \rightarrow R$ 得 $R$ 为真。 无论哪种情况，$R$ 均为真。 因此，$\Gamma = \{ P \lor Q, P \rightarrow R, Q \rightarrow R \}$ 能够推出 $H = R$。 结论：$\Gamma \Rightarrow H$ 成立。

解析

本题考查命题逻辑中的推理证明，解题思路是利用前提集合中的析取式 $P \vee Q$ 进行分类讨论，再结合蕴含式的推理规则来证明结论 $H = R$ 成立。

  1. 已知前提集合 $\Gamma = \{P \vee Q, P \rightarrow R, Q \rightarrow R\}$，根据析取式 $P \vee Q$ 的性质，它表示 $P$ 和 $Q$ 中至少有一个为真，所以可以分两种情况进行讨论：
    • 情况一：若 $P$ 为真
      已知前提中有蕴含式 $P \rightarrow R$，根据蕴含式的推理规则：若 $A \rightarrow B$ 为真且 $A$ 为真，则 $B$ 为真。在这里 $A = P$，$B = R$，因为 $P$ 为真且 $P \rightarrow R$ 为真，所以可以得出 $R$ 为真。
    • 情况二：若 $Q$ 为真
      同样，前提中有蕴含式 $Q \rightarrow R$，依据蕴含式的推理规则，由于 $Q$ 为真且 $Q \rightarrow R$ 为真，所以可以得出 $R$ 为真。
  2. 综合以上两种情况，无论 $P$ 为真还是 $Q$ 为真，都能推出 $R$ 为真。这就说明在前提集合 $\Gamma$ 的条件下，结论 $H = R$ 必然成立，即 $\Gamma \Rightarrow H$ 成立。