题目

4、单选 设A、B和C为n阶可逆矩阵，则错误的是. A (ABC)^T=A^TB^TC^T B (Apm B)^T=A.^Tpm B.^T; C. (AB)^T=B^TA^T D. (AB)^-1=B^-1A^-1;

4、单选 设A、B和C为n阶可逆矩阵，则错误的是. A $(ABC)^{T}=A^{T}B^{T}C^{T}$ B $(A\pm B)^{T}=
A.^{T}\pm
B.^{T}$;
C. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$
D. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$;

题目解答

答案

本题考察矩阵的基本性质，包括转置和逆的运算规则。 - **选项A**：$(ABC)^T = A^T B^T C^T$。根据矩阵转置性质，应为$(ABC)^T = C^T B^T A^T$，故A错误。 - **选项B**：$(A \pm B)^T = A^T \pm B^T$。矩阵和的转置等于转置和，B正确。 - **选项C**：$(AB)^T = B^T A^T$。矩阵乘积的转置等于转置的反序乘积，C正确。 - **选项D**：$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$。矩阵乘积的逆等于逆的反序乘积，D正确。 综上，错误的选项是A。 答案：$\boxed{A}$

解析

本题主要考察矩阵的基本性质，具体涉及矩阵转置和和逆矩阵的运算规则。解题的关键在于准确掌握这些规则，并将各选项与规则进行逐一进行对比分析。

  • 选项A：
    • 对于矩阵乘积的转置，有一个重要性质：若有矩阵$ABC)，根据矩阵转置的运算规则，\((ABC)^{T}=C^{T}BB^{T}A^{T}$。
    • 而该选项中给出给出$(ABC)^{T}=A^{T}B^{T}C^{T}$，与正确的转置顺序应该是从右到左依次转置，所以此选项不符合矩阵转置的运算规则，是错误的。
  • 选项B：
    • 矩阵和（差）的转置性质为：对于任意两个$n$阶矩阵$A$和\B)，$(A\pm B)^{T}=A^{T}\pm B^{T}$。
    • 这意味着矩阵相加（减）后再进行转置，与先分别对矩阵进行转置再相加（减）的结果是相同的，所以该选项是正确的。
  • 选项C：
    • 矩阵乘积的转置规则是：对于两个$n$阶矩阵\A)和\B)，$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$。
    • 即两个矩阵相乘后再转置，等于这两个矩阵先分别转置，然后交换顺序相乘，所以该选项是正确的。
  • 选项D：
    • 矩阵乘积的逆矩阵性质为：对于两个$n$阶可逆矩阵\A)和\B)，$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
    • 也就是两个可逆矩阵相乘后的逆矩阵，等于这两个矩阵先分别求逆，然后交换顺序相乘，所以该选项是正确的。