题目
lim _(xarrow pi )dfrac (sin 3x)(tan 5x);
;
题目解答
答案
答案：
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当$x\rightarrow \pi$时，$\sin 3x$和$\tan 5x$都趋向于0，因此原极限是$\frac{0}{0}$型的不定式。我们可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后求导后的极限。
步骤 2：求导
对分子$\sin 3x$求导得到$3\cos 3x$，对分母$\tan 5x$求导得到$5\sec^2 5x$。
步骤 3：计算极限
将求导后的表达式代入原极限，得到$\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {3\cos 3x}{5{\sec }^{2}5x}$。当$x\rightarrow \pi$时，$\cos 3x\rightarrow \cos 3\pi = -1$，$\sec^2 5x\rightarrow \sec^2 5\pi = 1$，因此原极限等于$\dfrac{3(-1)}{5(1)} = -\dfrac{3}{5}$。
由于当$x\rightarrow \pi$时，$\sin 3x$和$\tan 5x$都趋向于0，因此原极限是$\frac{0}{0}$型的不定式。我们可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后求导后的极限。
步骤 2：求导
对分子$\sin 3x$求导得到$3\cos 3x$，对分母$\tan 5x$求导得到$5\sec^2 5x$。
步骤 3：计算极限
将求导后的表达式代入原极限，得到$\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {3\cos 3x}{5{\sec }^{2}5x}$。当$x\rightarrow \pi$时，$\cos 3x\rightarrow \cos 3\pi = -1$，$\sec^2 5x\rightarrow \sec^2 5\pi = 1$，因此原极限等于$\dfrac{3(-1)}{5(1)} = -\dfrac{3}{5}$。