(3)试求函数 u=x+y+z 在球面 ^2+(y)^2+(z)^2=3-|||-上点(1,1,1)处沿球面在该点的内法线方向的方-|||-向导数-|||-8.求下列函数在指定点处沿指定方向的方向-|||-导数.

步骤 1：计算函数 u=x+y+z 在点 (1,1,1) 处的梯度
函数 u=x+y+z 的梯度为 $\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}) = (1, 1, 1)$。在点 (1,1,1) 处，梯度为 $\nabla u(1,1,1) = (1, 1, 1)$。

步骤 2：确定球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3$ 在点 (1,1,1) 处的内法线方向
球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3$ 的法向量为 $\nabla F = (2x, 2y, 2z)$，在点 (1,1,1) 处，法向量为 $\nabla F(1,1,1) = (2, 2, 2)$。由于内法线方向与法向量方向相反，因此内法线方向为 $-\nabla F(1,1,1) = (-2, -2, -2)$。单位内法线方向为 $\frac{-\nabla F(1,1,1)}{||-\nabla F(1,1,1)||} = \frac{(-2, -2, -2)}{\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-2)^2}} = \frac{(-2, -2, -2)}{2\sqrt{3}} = (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})$。

步骤 3：计算函数 u=x+y+z 在点 (1,1,1) 处沿球面在该点的内法线方向的方向导数
函数 u=x+y+z 在点 (1,1,1) 处沿球面在该点的内法线方向的方向导数为 $\nabla u(1,1,1) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}) = (1, 1, 1) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$。