原点O(0,0)与曲线 =dfrac (1)(2sqrt {x)} 之间的最短距离为(-|||-(4分)-|||-A .dfrac (sqrt {5)}(2)-|||-B . dfrac (1)(2)-|||-C .dfrac (sqrt {2)}(2)-|||-D .dfrac (sqrt {3)}(2)

本题考查利用导数求函数最值解决两点间最短距离问题。具体步骤如下：

步骤1：设曲线上一点，写出距离平方函数

曲线$y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$上任意一点可表示为$P\left(t,\,\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)$（$t>0$）。原点$O(0,0)$到点$P$的距离平方平方为：
$d^2(t)=t^2+\left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)^2=t^2+\frac{1}{t}\quad(t>0)$
（注：用距离平方代替距离平方，因平方函数单调递增，最短距离等价于最短距离平方）

步骤2：求导找极值点

对$d^2(t)=t^2+\frac{1}{t}$，求导得：
$\left(d^2(t(t)\right)'=2t-\frac{1}{t^2}$
令导数为0，得$2t-\frac{1{t^2}=0$，解得$t^3=\frac12$，即$t=\left(\frac12\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$。

步骤3：计算最短距离

将$t=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$代入$d^2(t)$：
$d^2\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^2+\frac{1/\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\sqrt[3]{2}$
化简：$\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$，故：
[
d^2(t)=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}+\sqrt[3]{2}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}
\\(a=\sqrt[3]{2}\)，则$a^3=2$，$d=\sqrt{\frac{3a}{2}}$，计算$d^2=\frac{3a}{2}$，求导验证为极小值点，即最小值。

**步骤4：计算具体数值

$a=\sqrt[3]{2}\approx1.26$，则$d^2≈\frac{3×1.26}{2}=1.89$，$d≈1.37$。对比选项：
$\frac{\sqrt{5}}{2}≈1.118$，$\frac{\sqrt{2}}{2}≈0.707$，$\frac{\sqrt{3}}{2}≈0.866$，均不匹配？发现错误：
哦！$y=\frac{1}{2\sqrt{x}^{1/2}}$，点$P(t,\frac{1}{2\sqrt{t}})$的纵坐标应为$\frac{1{2\sqrt{t}}$，则$y^2=\frac{1}{4t}$，故$d^2(t)=t^2+\frac{1}{4t}$！

步骤5：纠正后计算

$d^2(t)=t^2+\frac{1}{4t}$，求导：$2t-\frac{1}{4t^2}=0\Rightarrow t^3=\frac{1}{8}Rightarrow t=\frac{1}{2}$。
代入$d^2(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4×\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，故$d=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，对应选项D。