int dfrac (3)({x)^3+1}dx

考查要点：本题主要考查有理分式的积分方法，特别是利用部分分式分解和代数技巧处理分母为三次多项式的积分。

解题核心思路：

1. 因式分解分母$x^3 + 1$，将其分解为$(x + 1)(x^2 - x + 1)$；
2. 部分分式分解，将原分式拆分为简单分式的和；
3. 分项积分，分别处理每一部分，其中涉及对分母二次多项式的积分，需通过完成平方和三角代换完成。

破题关键点：

• 正确分解分母是基础；
• 拆分分子时，利用分母的导数构造可积分形式；
• 完成平方后转化为标准反正切积分形式。

步骤1：因式分解分母

利用立方和公式分解：
$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

步骤2：部分分式分解

将原分式拆分为：
$\frac{3}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2 - x}{x^2 - x + 1}$

步骤3：分项积分

原积分拆分为两部分：
$\int \frac{1}{x + 1} \, dx + \int \frac{2 - x}{x^2 - x + 1} \, dx$

第一部分积分

直接积分：
$\int \frac{1}{x + 1} \, dx = \ln |x + 1|$

第二部分积分

将分子拆分为分母的导数和常数项：
$\frac{2 - x}{x^2 - x + 1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2 - x + 1}$

子积分1：$\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} \, dx$

分子为分母的导数，积分结果为：
$-\frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1|$

子积分2：$\int \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx$

完成平方：
$x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$
代换$t = \frac{2x - 1}{\sqrt{3}}$，积分结果为：
$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) = \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right)$

步骤4：合并结果

综合所有部分，最终结果为：
$\ln |x + 1| - \frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1| + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C$