题目

设向量组1 2 37-|||-a1= 2 ,a2= 1 ,a3= 4-|||--1 3 a，其中a是实数。1. 试确定 a 的值，使得向量组1 2 37-|||-a1= 2 ,a2= 1 ,a3= 4-|||--1 3 a线性相关。2. 当向量组1 2 37-|||-a1= 2 ,a2= 1 ,a3= 4-|||--1 3 a线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

设向量组 $a_{1}=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1\end{bmatrix} ,a_{2}=\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 3\end{bmatrix} ,a_{3}=\begin{bmatrix} 3\\ 4\\ a\end{bmatrix}$ ，其中a是实数。

1. 试确定 a 的值，使得向量组 $\{ a_{1},a_{2},a_{3}\}$ 线性相关。

2. 当向量组 $\{ a_{1},a_{2},a_{3}\}$ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

题目解答

答案

本题考查了以下内容向量组线性相关的判定方法

$1.设\alpha_1=(1,a,1)，\alpha_2=(a,1,1)，\alpha_3=(1,1,a)，$

$展开行列式可得(a-1)[(a+1)^2-2(a-1)]=0，$

$即(a-1)(a^2+3)=0，解得a=1。$

$2.若a = 1，三个向量相同，极大线性无关组可取\{\alpha_1\}，\alpha_2=\alpha_1，\alpha_3=\alpha_1$

$若a\ne1，继续化简矩阵。$

$当a = -2时，极大线性无关组可取\{\alpha_1,\alpha_2\}，$

$设\alpha_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2，$

$解方程组可得\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2。$

正确答案为1.a=1 2. $\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2$

解析

步骤 1：确定向量组线性相关的条件
向量组线性相关的条件是其行列式为零。因此，我们需要计算向量组的行列式，并找到使行列式为零的a值。
步骤 2：计算行列式
将向量组写成矩阵形式，计算行列式。
步骤 3：求解a的值
解行列式等于零的方程，找到a的值。
步骤 4：确定极大线性无关组
当向量组线性相关时，找到一个极大线性无关组，并用该组表示其他向量。