题目
微分方程y"-3y'+2y=3x-2ex的特解形式为 A. (ax+b)ex.B. (ax+b)xex.C. (ax+b)+cex.D. (ax+b)+cxex.
微分方程y"-3y'+2y=3x-2ex的特解形式为
- A. (ax+b)ex.
- B. (ax+b)xex.
- C. (ax+b)+cex.
- D. (ax+b)+cxex.
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：确定齐次方程的特征方程
齐次方程为y"-3y'+2y=0，其特征方程为r^2-3r+2=0，解得r=1或r=2，因此齐次方程的通解为y=C1e^x+C2e^(2x)。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
非齐次方程为y"-3y'+2y=3x-2e^x，由于3x是多项式，e^x是指数函数，且e^x是齐次方程的解，因此特解形式为(ax+b)+cx^2e^x，其中ax+b对应于多项式3x，cx^2e^x对应于指数函数-2e^x，且需要乘以x^2以避免与齐次方程的解重复。
步骤 3：选择正确的特解形式
根据步骤2的分析，特解形式为(ax+b)+cx^2e^x，但选项中没有cx^2e^x，只有cx^1e^x，因此选择特解形式为(ax+b)+cx^1e^x，即选项D。
齐次方程为y"-3y'+2y=0，其特征方程为r^2-3r+2=0，解得r=1或r=2，因此齐次方程的通解为y=C1e^x+C2e^(2x)。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
非齐次方程为y"-3y'+2y=3x-2e^x，由于3x是多项式，e^x是指数函数，且e^x是齐次方程的解，因此特解形式为(ax+b)+cx^2e^x，其中ax+b对应于多项式3x，cx^2e^x对应于指数函数-2e^x，且需要乘以x^2以避免与齐次方程的解重复。
步骤 3：选择正确的特解形式
根据步骤2的分析，特解形式为(ax+b)+cx^2e^x，但选项中没有cx^2e^x，只有cx^1e^x，因此选择特解形式为(ax+b)+cx^1e^x，即选项D。