题目
8.设 _(n)sim B(n,p),pin (0,1) ,当n充分大时,下列选项不正确的是 ()-|||-A. dfrac ({n)_(n)}(n) 依概率收敛于p B. _(n)sim N(np,np(1-p))-|||-C. dfrac ({n)_(n)}(n)sim N(p,dfrac (p(1-p))(n)) D. dfrac ({n)_(n)-np}(sqrt {p(1-p))}sim N(0,1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解二项分布的性质
二项分布 $B(n,p)$ 表示在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，随机变量${n}_{n}$表示成功次数的分布。当n充分大时，二项分布可以近似为正态分布。
步骤 2：分析选项A
选项A中，$\dfrac{{n}_{n}}{n}$表示成功次数占总试验次数的比例。根据大数定律，当n充分大时，$\dfrac{{n}_{n}}{n}$依概率收敛于p，即选项A正确。
步骤 3：分析选项B
选项B中，${n}_{n}\sim N(np,np(1-p))$表示当n充分大时，二项分布可以近似为均值为np，方差为np(1-p)的正态分布。这是中心极限定理的直接应用，因此选项B正确。
步骤 4：分析选项C
选项C中，$\dfrac{{n}_{n}}{n}\sim N(p,\dfrac{p(1-p)}{n})$表示当n充分大时，$\dfrac{{n}_{n}}{n}$近似为均值为p，方差为$\dfrac{p(1-p)}{n}$的正态分布。这是对选项B的进一步标准化，因此选项C正确。
步骤 5：分析选项D
选项D中，$\dfrac{{n}_{n}-np}{\sqrt{p(1-p)}}\sim N(0,1)$表示当n充分大时，标准化后的二项分布近似为标准正态分布。但是，正确的标准化应该是$\dfrac{{n}_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}\sim N(0,1)$，因此选项D不正确。
二项分布 $B(n,p)$ 表示在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，随机变量${n}_{n}$表示成功次数的分布。当n充分大时，二项分布可以近似为正态分布。
步骤 2：分析选项A
选项A中，$\dfrac{{n}_{n}}{n}$表示成功次数占总试验次数的比例。根据大数定律，当n充分大时，$\dfrac{{n}_{n}}{n}$依概率收敛于p，即选项A正确。
步骤 3：分析选项B
选项B中，${n}_{n}\sim N(np,np(1-p))$表示当n充分大时，二项分布可以近似为均值为np，方差为np(1-p)的正态分布。这是中心极限定理的直接应用，因此选项B正确。
步骤 4：分析选项C
选项C中，$\dfrac{{n}_{n}}{n}\sim N(p,\dfrac{p(1-p)}{n})$表示当n充分大时，$\dfrac{{n}_{n}}{n}$近似为均值为p，方差为$\dfrac{p(1-p)}{n}$的正态分布。这是对选项B的进一步标准化，因此选项C正确。
步骤 5：分析选项D
选项D中，$\dfrac{{n}_{n}-np}{\sqrt{p(1-p)}}\sim N(0,1)$表示当n充分大时，标准化后的二项分布近似为标准正态分布。但是，正确的标准化应该是$\dfrac{{n}_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}\sim N(0,1)$，因此选项D不正确。