设有一圆板占有平面闭区域 (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1} . 该圆板被加热,以致在点(x,y)-|||-的温度是 =(x)^2+2(y)^2-x 求该圆板的最热点和最冷点.

步骤 1：求解驻点
首先，我们需要求解函数 $T(x,y) = x^2 + 2y^2 - x$ 的驻点。为此，我们计算 $T$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，并令它们等于零。
$$
\frac{\partial T}{\partial x} = 2x - 1 = 0
$$
$$
\frac{\partial T}{\partial y} = 4y = 0
$$
解得 $x = \frac{1}{2}$ 和 $y = 0$，因此驻点为 $(\frac{1}{2}, 0)$。

步骤 2：计算驻点处的温度
将驻点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 代入 $T(x,y)$，得到
$$
T(\frac{1}{2}, 0) = (\frac{1}{2})^2 + 2(0)^2 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}
$$
因此，驻点处的温度为 $-\frac{1}{4}$。

步骤 3：计算边界上的温度
在边界 $x^2 + y^2 = 1$ 上，我们有 $y^2 = 1 - x^2$。将 $y^2$ 代入 $T(x,y)$，得到
$$
T(x,y) = x^2 + 2(1 - x^2) - x = 2 - x^2 - x
$$
为了找到边界上的最大值和最小值，我们对 $T(x,y)$ 关于 $x$ 求导，并令导数等于零。
$$
\frac{dT}{dx} = -2x - 1 = 0
$$
解得 $x = -\frac{1}{2}$。将 $x = -\frac{1}{2}$ 代入 $T(x,y)$，得到
$$
T(-\frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4}
$$
因此，边界上的最大值为 $\frac{9}{4}$。当 $x = 1$ 时，$y = 0$，此时 $T(1,0) = 0$，因此边界上的最小值为 $0$。

步骤 4：比较温度值
比较驻点处的温度 $-\frac{1}{4}$、边界上的最大值 $\frac{9}{4}$ 和边界上的最小值 $0$，可以得出最热点和最冷点。