题目
一、知识点练习默认部分6.判断题sum_(n=1)^inftyu_(n)为正项级数，如果lim_(ntoinfty)(u_(n+1))/(u_(n))=rho>1，则sum_(n=1)^inftyu_(n)发散。（）bigcircA.错bigcircB.对
一、知识点练习默认部分
6.判断题
$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$
为正项级数，如果
$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho>1$
，则
$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$
发散。（）
$\bigcirc$A.错
$\bigcirc$B.对
题目解答
答案
为了判断题目中给出的陈述是否正确，我们需要分析正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的比值审敛法。比值审敛法指出，对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$ 存在，那么：
1. 如果 $\rho < 1$，级数收敛。
2. 如果 $\rho > 1$，级数发散。
3. 如果 $\rho = 1$，级数可能收敛也可能发散。
在给定的题目中，我们已知 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho > 1$。根据比值审敛法，这表明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
因此，题目中给出的陈述是正确的。正确答案是：
$\boxed{B}$
解析
步骤 1：理解比值审敛法
比值审敛法是判断正项级数收敛性的一种方法。对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$ 存在，那么：
- 如果 $\rho < 1$，级数收敛。
- 如果 $\rho > 1$，级数发散。
- 如果 $\rho = 1$，级数可能收敛也可能发散，需要进一步分析。
步骤 2：应用比值审敛法
题目中给出 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho > 1$。根据比值审敛法，当 $\rho > 1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
步骤 3：得出结论
根据比值审敛法的结论，题目中给出的陈述是正确的。因此，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
比值审敛法是判断正项级数收敛性的一种方法。对于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$ 存在，那么：
- 如果 $\rho < 1$，级数收敛。
- 如果 $\rho > 1$，级数发散。
- 如果 $\rho = 1$，级数可能收敛也可能发散，需要进一步分析。
步骤 2：应用比值审敛法
题目中给出 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho > 1$。根据比值审敛法，当 $\rho > 1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
步骤 3：得出结论
根据比值审敛法的结论，题目中给出的陈述是正确的。因此，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。