题目
旋转抛物面=dfrac ({x)^2+(y)^2}(2)在=dfrac ({x)^2+(y)^2}(2)那部分的曲面面积S=( )A. =dfrac ({x)^2+(y)^2}(2) B. =dfrac ({x)^2+(y)^2}(2) C. =dfrac ({x)^2+(y)^2}(2) D. =dfrac ({x)^2+(y)^2}(2)
旋转抛物面
在
那部分的曲面面积S=( )
B.
C.
D.
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：确定曲面方程
给定的曲面方程为$z=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$，这是一个旋转抛物面。
步骤 2：计算曲面的微分面积元素
曲面的微分面积元素$dS$可以通过曲面的法向量来计算。对于给定的曲面$z=f(x,y)$，其微分面积元素$dS$可以表示为$dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}dxdy$。对于$z=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$，我们有$\frac{\partial f}{\partial x}=x$和$\frac{\partial f}{\partial y}=y$，因此$dS=\sqrt{1+x^2+y^2}dxdy$。
步骤 3：确定积分区域
由于$0\leqslant z\leqslant 2$，代入$z=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$得到$0\leqslant \dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}\leqslant 2$，即$0\leqslant {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$。这表示积分区域是一个半径为2的圆。
给定的曲面方程为$z=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$，这是一个旋转抛物面。
步骤 2：计算曲面的微分面积元素
曲面的微分面积元素$dS$可以通过曲面的法向量来计算。对于给定的曲面$z=f(x,y)$，其微分面积元素$dS$可以表示为$dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}dxdy$。对于$z=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$，我们有$\frac{\partial f}{\partial x}=x$和$\frac{\partial f}{\partial y}=y$，因此$dS=\sqrt{1+x^2+y^2}dxdy$。
步骤 3：确定积分区域
由于$0\leqslant z\leqslant 2$，代入$z=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$得到$0\leqslant \dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}\leqslant 2$，即$0\leqslant {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$。这表示积分区域是一个半径为2的圆。