题目
求过两点_(1)(3,-2,1) 和 _(2)(-1,0,2)的直线方程。
求过两点的直线方程。
题目解答
答案
解:
∵,
设直线的参数方程为:
将的坐标代入上式,得:
化简后即可得到:
∴将上式改写对称式的直线方程:
∴本题答案的直线方程是:
解析
步骤 1:确定直线的方向向量
直线的方向向量可以通过两点${M}_{1}(3,-2,1)$ 和 ${M}_{2}(-1,0,2)$的坐标差来确定。方向向量$\vec{d}$为:
$$\vec{d} = {M}_{2} - {M}_{1} = (-1 - 3, 0 - (-2), 2 - 1) = (-4, 2, 1)$$
步骤 2:写出直线的参数方程
直线的参数方程可以表示为:
$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$
其中,$(x_0, y_0, z_0)$是直线上一点的坐标,$(a, b, c)$是直线的方向向量,$t$是参数。根据步骤1,我们有:
$$\begin{cases} x = 3 - 4t \\ y = -2 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$$
步骤 3:将参数方程转换为对称式方程
将参数方程转换为对称式方程,即:
$$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$$
代入步骤2中的参数方程,得到:
$$\dfrac{x - 3}{-4} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z - 1}{1}$$
直线的方向向量可以通过两点${M}_{1}(3,-2,1)$ 和 ${M}_{2}(-1,0,2)$的坐标差来确定。方向向量$\vec{d}$为:
$$\vec{d} = {M}_{2} - {M}_{1} = (-1 - 3, 0 - (-2), 2 - 1) = (-4, 2, 1)$$
步骤 2:写出直线的参数方程
直线的参数方程可以表示为:
$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$
其中,$(x_0, y_0, z_0)$是直线上一点的坐标,$(a, b, c)$是直线的方向向量,$t$是参数。根据步骤1,我们有:
$$\begin{cases} x = 3 - 4t \\ y = -2 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$$
步骤 3:将参数方程转换为对称式方程
将参数方程转换为对称式方程,即:
$$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$$
代入步骤2中的参数方程,得到:
$$\dfrac{x - 3}{-4} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z - 1}{1}$$