2.试求由方程 +(z)^3-x(y)^2=2 所确定的函数 z=z(x,y) 在(1,1,1)点的全微分dz (1,1,1)·

步骤 1：确定函数 z=z(x,y) 在点 (1,1) 的值
首先，我们需要确定函数 z=z(x,y) 在点 (1,1) 的值。将 x=1 和 y=1 代入方程 $2xz+{z}^{3}-x{y}^{2}=2$，得到：
$$2(1)z+{z}^{3}-(1)(1)^{2}=2$$
$$2z+{z}^{3}-1=2$$
$$2z+{z}^{3}=3$$
通过观察或试错，可以发现 z=1 是方程的一个解。因此，z(1,1)=1。

步骤 2：计算偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$
为了计算全微分 dz，我们需要计算偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。对方程 $2xz+{z}^{3}-x{y}^{2}=2$ 关于 x 和 y 分别求偏导数，得到：
$$\frac{\partial}{\partial x}(2xz+{z}^{3}-x{y}^{2})=\frac{\partial}{\partial x}(2)$$
$$2z+2x\frac{\partial z}{\partial x}+3{z}^{2}\frac{\partial z}{\partial x}-{y}^{2}=0$$
$$\frac{\partial}{\partial y}(2xz+{z}^{3}-x{y}^{2})=\frac{\partial}{\partial y}(2)$$
$$2x\frac{\partial z}{\partial y}+3{z}^{2}\frac{\partial z}{\partial y}-2xy=0$$
将 z=1 代入上述方程，得到：
$$2(1)+2(1)\frac{\partial z}{\partial x}+3(1)^{2}\frac{\partial z}{\partial x}-(1)^{2}=0$$
$$2+2\frac{\partial z}{\partial x}+3\frac{\partial z}{\partial x}-1=0$$
$$5\frac{\partial z}{\partial x}=-1$$
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{5}$$
$$2(1)\frac{\partial z}{\partial y}+3(1)^{2}\frac{\partial z}{\partial y}-2(1)(1)=0$$
$$2\frac{\partial z}{\partial y}+3\frac{\partial z}{\partial y}-2=0$$
$$5\frac{\partial z}{\partial y}=2$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2}{5}$$

步骤 3：计算全微分 dz
全微分 dz 可以表示为：
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$
将 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{5}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2}{5}$ 代入上式，得到：
$$dz=-\frac{1}{5}dx+\frac{2}{5}dy$$