下列函数在[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是( )[1,e]

拉格朗日中值定理的条件是：

1. 函数在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 函数在开区间$(a,b)$内可导。

本题需逐一验证选项中各函数在区间$[1,e]$上是否满足上述条件。关键点在于检查函数的定义域是否包含区间$[1,e]$，以及函数在该区间内的连续性和可导性。

选项分析

A. $\ln(\ln x)$

• 定义域：$\ln x > 0 \Rightarrow x > 1$。
  当$x=1$时，$\ln(1)=0$，导致$\ln(\ln 1)$无定义，因此函数在$x=1$处不连续，不符合条件。

B. $\ln x$

• 定义域：$x > 0$，显然包含区间$[1,e]$。
• 连续性：$\ln x$在定义域内连续。
• 可导性：导数为$\frac{1}{x}$，在$(1,e)$内可导。
  满足条件。

C. $\frac{1}{\ln x}$

• 定义域：$\ln x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$。
  当$x=1$时，分母为$0$，函数无定义，因此在区间$[1,e]$上不连续，不符合条件。

D. $\ln(2-x)$

• 定义域：$2-x > 0 \Rightarrow x < 2$。
  由于区间$[1,e]$中$e \approx 2.718 > 2$，当$x > 2$时函数无定义，因此在区间$[1,e]$上不连续，不符合条件。