题目
设主干道上一汽车需经过三组信号灯,每组信号灯以dfrac (1)(3)的概率允许汽车通过,以￥表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的).求X的分布律.
设主干道上一汽车需经过三组信号灯,每组信号灯以
的概率允许汽车通过,以￥表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的).求X的分布律.
题目解答
答案
X = 0：汽车在第一组信号灯停下，
概率为 1 - 1/3 = 2/3
X = 1：第一组通过（概率 1/3）
第二组停下（概率 2/3）
独立，概率为 1/3 × 2/3 = 2/9
X = 2：前两组通过（各自概率 1/3）
第三组停下（概率 2/3）
独立，概率为 1/3 × 1/3 × 2/3 = 2/27
X = 3：三组都通过，各自概率 1/3，概率为 1/3 × 1/3 × 1/3 = 1/27
综上，X 的分布律为：
，
，
解析
步骤 1：定义随机变量X
随机变量X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数。X的可能取值为0, 1, 2, 3。
步骤 2：计算P(X=0)
汽车在第一组信号灯停下，即第一组信号灯不允许汽车通过的概率为1 - 1/3 = 2/3。
因此，$P(X=0)=\dfrac {2}{3}$。
步骤 3：计算P(X=1)
汽车在第一组信号灯通过，第二组信号灯停下。第一组信号灯通过的概率为1/3，第二组信号灯不通过的概率为2/3。
因此，$P(X=1)=\dfrac {1}{3} \times \dfrac {2}{3} = \dfrac {2}{9}$。
步骤 4：计算P(X=2)
汽车在前两组信号灯通过，第三组信号灯停下。前两组信号灯通过的概率为1/3，第三组信号灯不通过的概率为2/3。
因此，$P(X=2)=\dfrac {1}{3} \times \dfrac {1}{3} \times \dfrac {2}{3} = \dfrac {2}{27}$。
步骤 5：计算P(X=3)
汽车在三组信号灯都通过。每组信号灯通过的概率为1/3。
因此，$P(X=3)=\dfrac {1}{3} \times \dfrac {1}{3} \times \dfrac {1}{3} = \dfrac {1}{27}$。
随机变量X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数。X的可能取值为0, 1, 2, 3。
步骤 2：计算P(X=0)
汽车在第一组信号灯停下，即第一组信号灯不允许汽车通过的概率为1 - 1/3 = 2/3。
因此，$P(X=0)=\dfrac {2}{3}$。
步骤 3：计算P(X=1)
汽车在第一组信号灯通过，第二组信号灯停下。第一组信号灯通过的概率为1/3，第二组信号灯不通过的概率为2/3。
因此，$P(X=1)=\dfrac {1}{3} \times \dfrac {2}{3} = \dfrac {2}{9}$。
步骤 4：计算P(X=2)
汽车在前两组信号灯通过，第三组信号灯停下。前两组信号灯通过的概率为1/3，第三组信号灯不通过的概率为2/3。
因此，$P(X=2)=\dfrac {1}{3} \times \dfrac {1}{3} \times \dfrac {2}{3} = \dfrac {2}{27}$。
步骤 5：计算P(X=3)
汽车在三组信号灯都通过。每组信号灯通过的概率为1/3。
因此，$P(X=3)=\dfrac {1}{3} \times \dfrac {1}{3} \times \dfrac {1}{3} = \dfrac {1}{27}$。