证明方程^x-1+x-2=0仅有一个实根.

步骤 1：定义函数
定义函数$f(x)={e}^{x-1}+x-2$，该函数是方程${e}^{x-1}+x-2=0$的左端。
步骤 2：求导数
求函数$f(x)$的导数$f'(x)$，得到$f'(x)={e}^{x-1}+1$。
步骤 3：分析导数的符号
由于${e}^{x-1}\gt 0$对所有$x\in \mathbb{R}$成立，因此$f'(x)={e}^{x-1}+1\gt 0$，说明$f(x)$在实数集上是严格递增的。
步骤 4：验证零点
验证$f(1)=0$，即$f(1)={e}^{1-1}+1-2=1+1-2=0$，说明$x=1$是$f(x)$的一个零点。
步骤 5：唯一性
由于$f(x)$在实数集上是严格递增的，因此$f(x)$在实数集上至多有一个零点。结合步骤4，可以确定$f(x)$在实数集上仅有一个零点。