9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为-|||-f(x,y)= ) c(e)^-(2x+y),xgt 0,ygt 0, .-|||-(1)确定常数c.

题目考察知识

二维随机变量的概率密度函数及其应用，包括常数确定、边缘概率密度、联合分布函数、概率计算、条件概率密度等知识点。

（1）确定常数$c$

根据概率密度函数的归一性，$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$。
积分区域为$x>0,y>0$，故：
$\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}ce^{-(2x+y)}dxdy=1$
分离变量积分：
$c\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx\right)\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-y}dy\right)=c\left(\frac{1}{2}\right)(1)=1\implies c=2$

（2）求边缘概率密度

$X$的边缘密度$f_X(x)$

对$y$积分：
$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\begin{cases}\int_{0}^{+\infty}2e^{-2x}e^{-y}dy=2e^{-2x}(1)=2e^{-2x} & (x>0) \\0 & (x\leq0)\end{cases}$

$Y$的边缘密度$f_Y(y)$

对$x$积分：
$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx=\begin{cases}\int_{0}^{+\infty}2e^{-2x}e^{-y}dx=e^{-y}\left(-e^{-2x}\big|_0^{+\infty}\right)=e^{-y} & (y>0) \\0 & (y\leq0)\end{cases}$

（3）求联合分布函数$F(x,y)$

联合分布函数$F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)dudv$，仅当$x>0,y>0$时非零：
$F(x,y)=\int_{0}^x\int_{0}^y2e^{-2u}e^{-v}dudv=2\left(\int_{0}^xe^{-2u}du\right)\left(\int_{0}^ye^{-v}dv\right)$
计算积分：
$\int_{0}^xe^{-2u}du=\frac{1}{2}(1-e^{-2x}),\quad\int_{0}^ye^{-v}dv=1-e^{-y}$
故：
$F(x,y)=\begin{cases}(1-e^{-2x})(1-e^{-y}) & (x>0,y>0) \\0 & (\text{其他})\end{cases}$

（4）求$P\{Y\leq X\}$

积分区域为$x>0,y>0,y\leq x$：
$P\{Y\leq X\}=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^x2e^{-2x}e^{-y}dydx$
先对$y$积分：
$\int_{0}^x e^{-y}dy=1-e^{-x}$
再对$x$积分：
$\int_{0}^{+\infty}2e^{-2x}(1-e^{-x})dx=2\left[\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx-\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx\right]=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$

（5）求条件概率密度$f_{X|Y}(x|y)$

当$f_Y(y)>0$（即$y>0$）时：
$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\begin{cases}\frac{2e^{-2x}e^{-y}}{e^{-y}}=2e^{-2x} & (x>0) \\0 & (x\leq0)\end{cases}$

（6）求$P\{X<2|Y<1\}$

条件概率公式：
$P\{X<2|Y<1\}=\frac{P\{X<2,Y<1\}}{P\{Y<1\}}$
分子$P\{X<2,Y<1\}=F(2,1)=(1-e^{-4})(1-e^{-1})$，分母$P\{Y<1\}=F_Y(1)=1-e^{-1}$，故：
$P\{X<2|Y<1\}=\frac{(1-e^{-4})(1-e^{-1})}{1-e^{-1}}=1-e^{-4}$