题目
1 单选 (4分)极限 lim _(xarrow +infty )((1+x))^dfrac (1{x)}-|||-的值为 ()-|||-A.e-|||-B.1-|||-c.α0-|||-D. ^-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换为对数形式
首先，我们考虑将给定的极限问题转换为对数形式，以便于应用洛必达法则。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}$$
步骤 2：应用对数
将原问题转换为对数形式，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }e^{\ln{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}}$$
步骤 3：应用洛必达法则
接下来，我们应用洛必达法则来解决对数部分的极限问题。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln (1+x)}{x}$$
应用洛必达法则，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln (1+x)}{x}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{1+x}=0$$
步骤 4：计算最终结果
最后，我们计算原问题的极限值：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}=e^{\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}}=e^{0}=1$$
首先，我们考虑将给定的极限问题转换为对数形式，以便于应用洛必达法则。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}$$
步骤 2：应用对数
将原问题转换为对数形式，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }e^{\ln{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}}$$
步骤 3：应用洛必达法则
接下来，我们应用洛必达法则来解决对数部分的极限问题。我们有：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln (1+x)}{x}$$
应用洛必达法则，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln (1+x)}{x}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{1+x}=0$$
步骤 4：计算最终结果
最后，我们计算原问题的极限值：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}=e^{\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}}=e^{0}=1$$