题目
6 在 P^3 中，A 定义如下：}Aeta_(1)=(-5,0,3),Aeta_(2)=(0,-1,6),Aeta_(3)=(-5,-1,9),求A在基 varepsilon_(1)=(1,0,0),varepsilon_(2)=(0,1,0),varepsilon_(3)=(0,0,1) 下的矩阵；
6 在 $P^{3}$ 中，$A$ 定义如下：
$\begin{cases}A\eta_{1}=(-5,0,3),\\A\eta_{2}=(0,-1,6),\\A\eta_{3}=(-5,-1,9),\end{cases}$ 其中$\begin{cases}\eta_{1}=(-1,0,2),\\\eta_{2}=(0,1,1),\\\eta_{3}=(3,-1,0),\end{cases}$
求$A$在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0),\varepsilon_{2}=(0,1,0),\varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵；
题目解答
答案
已知线性变换 $A$ 在基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 下的矩阵为：
\[
B = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 5 \\
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
过渡矩阵 $X$ 为：
\[
X = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
计算得：
\[
A = X^{-1}BX = \boxed{\frac{1}{7} \begin{pmatrix}
-5 & 20 & -20 \\
-4 & -5 & -2 \\
27 & 18 & 24
\end{pmatrix}}
\]
解析
步骤 1：确定线性变换 $A$ 在基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 下的矩阵 $B$。
根据题目给出的信息，可以得到矩阵 $B$ 的列向量为 $A\eta_1, A\eta_2, A\eta_3$，即：
\[ B = \begin{pmatrix} -5 & 0 & -5 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]
步骤 2：确定基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 的过渡矩阵 $X$。
根据题目给出的基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$，可以得到过渡矩阵 $X$ 为：
\[ X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：计算 $A$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵。
根据线性变换的矩阵表示，$A$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $A = X^{-1}BX$。首先计算 $X^{-1}$，然后计算 $X^{-1}BX$。
\[ X^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 6 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]
\[ A = X^{-1}BX = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 6 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 0 & -5 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ A = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -5 & 20 & -20 \\ -4 & -5 & -2 \\ 27 & 18 & 24 \end{pmatrix} \]
根据题目给出的信息，可以得到矩阵 $B$ 的列向量为 $A\eta_1, A\eta_2, A\eta_3$，即：
\[ B = \begin{pmatrix} -5 & 0 & -5 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]
步骤 2：确定基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 的过渡矩阵 $X$。
根据题目给出的基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$，可以得到过渡矩阵 $X$ 为：
\[ X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：计算 $A$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵。
根据线性变换的矩阵表示，$A$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $A = X^{-1}BX$。首先计算 $X^{-1}$，然后计算 $X^{-1}BX$。
\[ X^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 6 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]
\[ A = X^{-1}BX = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 6 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 0 & -5 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ A = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -5 & 20 & -20 \\ -4 & -5 & -2 \\ 27 & 18 & 24 \end{pmatrix} \]