题目
[题目]-|||-55 原点O(0.0)与曲线 =dfrac (1)(2sqrt {x)} 之间的最短距离为-|||-(A) dfrac (1)(2) (B) dfrac (sqrt {2)}(2) (C) dfrac (sqrt {3)}(2) (D) dfrac (sqrt {5)}(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定距离公式
原点O(0,0)与曲线 $y=\dfrac {1}{2\sqrt {x}}$ 上任意点 $(x, \dfrac {1}{2\sqrt {x}})$ 之间的距离为 $d=\sqrt{x^2+\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2}$。
步骤 2：简化距离公式
将距离公式简化为 $d=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{4x}}$。
步骤 3：求导数
为了找到最小值，我们需要对 $d$ 关于 $x$ 求导数。令 $f(x)=x^2+\dfrac{1}{4x}$，则 $f'(x)=2x-\dfrac{1}{4x^2}$。
步骤 4：求导数的零点
令 $f'(x)=0$，解得 $2x-\dfrac{1}{4x^2}=0$，即 $8x^3-1=0$，解得 $x=\dfrac{1}{2}$。
步骤 5：验证极值
由于 $f''(x)=2+\dfrac{1}{2x^3}$，当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时，$f''(x)>0$，因此 $x=\dfrac{1}{2}$ 是极小值点。
步骤 6：计算最小距离
将 $x=\dfrac{1}{2}$ 代入距离公式，得到 $d=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4\left(\dfrac{1}{2}\right)}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
原点O(0,0)与曲线 $y=\dfrac {1}{2\sqrt {x}}$ 上任意点 $(x, \dfrac {1}{2\sqrt {x}})$ 之间的距离为 $d=\sqrt{x^2+\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2}$。
步骤 2：简化距离公式
将距离公式简化为 $d=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{4x}}$。
步骤 3：求导数
为了找到最小值，我们需要对 $d$ 关于 $x$ 求导数。令 $f(x)=x^2+\dfrac{1}{4x}$，则 $f'(x)=2x-\dfrac{1}{4x^2}$。
步骤 4：求导数的零点
令 $f'(x)=0$，解得 $2x-\dfrac{1}{4x^2}=0$，即 $8x^3-1=0$，解得 $x=\dfrac{1}{2}$。
步骤 5：验证极值
由于 $f''(x)=2+\dfrac{1}{2x^3}$，当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时，$f''(x)>0$，因此 $x=\dfrac{1}{2}$ 是极小值点。
步骤 6：计算最小距离
将 $x=\dfrac{1}{2}$ 代入距离公式，得到 $d=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4\left(\dfrac{1}{2}\right)}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。