16.两台车床加工同样的零件,第一台出现不合格品的概率是0.03,第二台出现不合格品的概率是0.06,加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率;(2）如果取出的零件是不合格品,求它是由第二台车床加工的概率.

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题核心思路：

1. 确定各事件的概率关系：根据题目中两台车床加工零件数的比例，确定取到各车床零件的概率；结合各车床不合格品率，建立条件概率关系。
2. 全概率公式：用于计算任取一个零件的合格概率，需综合两台车床的贡献。
3. 贝叶斯公式：用于在已知不合格品的条件下，反推其来自第二台车床的概率，需注意分母是不合格品的总概率。

破题关键点：

• 明确比例关系：第一台加工的零件数是第二台的两倍，因此取到第一台零件的概率为$\dfrac{2}{3}$，第二台为$\dfrac{1}{3}$。
• 区分合格与不合格的条件概率：第一台合格概率为$0.97$，第二台合格概率为$0.94$；不合格概率分别为$0.03$和$0.06$。

第（1）题

目标：计算任取一个零件是合格品的概率。

定义事件

• 事件$A$：取到第一台车床加工的零件，概率$P(A) = \dfrac{2}{3}$。
• 事件$\overline{A}$：取到第二台车床加工的零件，概率$P(\overline{A}) = \dfrac{1}{3}$。
• 事件$B$：零件是合格品。

应用全概率公式

$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})$

代入数值

• 第一台合格概率：$P(B|A) = 1 - 0.03 = 0.97$
• 第二台合格概率：$P(B|\overline{A}) = 1 - 0.06 = 0.94$

$P(B) = \dfrac{2}{3} \times 0.97 + \dfrac{1}{3} \times 0.94 = 0.96$

第（2）题

目标：已知零件是不合格品，求它由第二台车床加工的概率。

定义事件

• 事件$\overline{B}$：零件是不合格品。
• 目标概率：$P(\overline{A}|\overline{B})$

应用贝叶斯公式

$P(\overline{A}|\overline{B}) = \dfrac{P(\overline{B}|\overline{A})P(\overline{A})}{P(\overline{B})}$

计算分母$P(\overline{B})$

利用全概率公式：
$P(\overline{B}) = P(A)P(\overline{B}|A) + P(\overline{A})P(\overline{B}|\overline{A})$
代入数值：
$P(\overline{B}) = \dfrac{2}{3} \times 0.03 + \dfrac{1}{3} \times 0.06 = 0.04$

代入贝叶斯公式

$P(\overline{A}|\overline{B}) = \dfrac{0.06 \times \dfrac{1}{3}}{0.04} = \dfrac{0.02}{0.04} = 0.5$