题目
16.利用拉格朗日中值定理证明:当 gt 1 时, ^xgt ex.
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(u) = e^u$，其中 $u \in [1, x]$。这个函数在区间 $[1, x]$ 上是连续的，并且在区间 $(1, x)$ 上是可导的，因此满足拉格朗日中值定理的条件。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (1, x)$，使得
$$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(\xi)$$
代入 $f(u) = e^u$，得到
$$\frac{e^x - e}{x - 1} = e^\xi$$
步骤 3：分析不等式
由于 $\xi \in (1, x)$，所以 $e^\xi > e$。因此
$$\frac{e^x - e}{x - 1} > e$$
整理得到
$$e^x - e > e(x - 1)$$
即
$$e^x > ex$$
定义函数 $f(u) = e^u$，其中 $u \in [1, x]$。这个函数在区间 $[1, x]$ 上是连续的，并且在区间 $(1, x)$ 上是可导的，因此满足拉格朗日中值定理的条件。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (1, x)$，使得
$$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(\xi)$$
代入 $f(u) = e^u$，得到
$$\frac{e^x - e}{x - 1} = e^\xi$$
步骤 3：分析不等式
由于 $\xi \in (1, x)$，所以 $e^\xi > e$。因此
$$\frac{e^x - e}{x - 1} > e$$
整理得到
$$e^x - e > e(x - 1)$$
即
$$e^x > ex$$