题目
五人排成一行，其中甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法种数是[ ]A．48B．72C．96D．144
五人排成一行，其中甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法种数是
[ ]
A．48
B．72
C．96
D．144
题目解答
答案
答案：B
解析：
解析：
|
解析
步骤 1：计算五人排成一行的总排法
五人排成一行的总排法为 ${A}_{5}^{5}$，即 $5!$，计算得 $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 种排法。
步骤 2：计算甲乙两人相邻的排法
甲乙两人相邻的排法，可以将甲乙两人看作一个整体，与其余三人一起排列，即 ${A}_{4}^{4}$ 种排法，同时甲乙两人内部还可以互换位置，即 ${A}_{2}^{2}$ 种排法。因此，甲乙两人相邻的排法总数为 ${A}_{4}^{4} \times {A}_{2}^{2} = 4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ 种排法。
步骤 3：计算甲乙两人之间至少有一人的排法
甲乙两人之间至少有一人的排法，即为五人排成一行的总排法减去甲乙两人相邻的排法，即 $120 - 48 = 72$ 种排法。
五人排成一行的总排法为 ${A}_{5}^{5}$，即 $5!$，计算得 $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 种排法。
步骤 2：计算甲乙两人相邻的排法
甲乙两人相邻的排法，可以将甲乙两人看作一个整体，与其余三人一起排列，即 ${A}_{4}^{4}$ 种排法，同时甲乙两人内部还可以互换位置，即 ${A}_{2}^{2}$ 种排法。因此，甲乙两人相邻的排法总数为 ${A}_{4}^{4} \times {A}_{2}^{2} = 4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ 种排法。
步骤 3：计算甲乙两人之间至少有一人的排法
甲乙两人之间至少有一人的排法，即为五人排成一行的总排法减去甲乙两人相邻的排法，即 $120 - 48 = 72$ 种排法。