题目
以下说法错误的是 （ ） 正交矩阵都是可逆的 正交矩阵的行向量两两正交 正交矩阵的行列式值为 两正交矩阵的乘积还是正交矩阵
以下说法错误的是 （ ）
正交矩阵都是可逆的
正交矩阵的行向量两两正交
正交矩阵的行列式值为
两正交矩阵的乘积还是正交矩阵
题目解答
答案
设是
阶方阵，满足
，则称是正交矩阵。正交矩阵满足：（1）
，由此可以得知正交矩阵是可逆的，其逆矩阵为它的转置矩阵。因此选项说法正确；
（2）正交矩阵的行（列）向量组都是标准正交向量组，也就是说行（列）向量组都是单位向量，且两两正交。因此选项说法正确；
（3）因为正交矩阵满足
，因此
，由此可得正交矩阵的行列式值为
。因此选项说法不正确；
（4）设两个正交矩阵分别为
，则有
，因此
，所以有
，满足正交矩阵的定义，因此两正交矩阵的乘积还是正交矩阵。所以，选项说法正确。
综上，本题正确选项为。
解析
步骤 1：正交矩阵的定义
正交矩阵是满足${A}^{T}A=E$的矩阵，其中${A}^{T}$是矩阵$A$的转置，$E$是单位矩阵。这意味着矩阵$A$的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
步骤 2：正交矩阵的性质
（1）正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即${A}^{-1}={A}^{T}$。因此，正交矩阵都是可逆的。
（2）正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
（3）正交矩阵的行列式值为$\pm 1$。这是因为行列式值的平方等于1，即$|A|^2=1$。
（4）两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵。这是因为如果$A$和$B$都是正交矩阵，则$(AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TEB=B^TB=E$，所以$AB$也是正交矩阵。
步骤 3：分析选项
选项（1）正交矩阵都是可逆的，这是正确的，因为正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
选项（2）正交矩阵的行向量两两正交，这是正确的，因为正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
选项（3）正交矩阵的行列式值为，这是不正确的，因为正交矩阵的行列式值为$\pm 1$。
选项（4）两正交矩阵的乘积还是正交矩阵，这是正确的，因为两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵。
正交矩阵是满足${A}^{T}A=E$的矩阵，其中${A}^{T}$是矩阵$A$的转置，$E$是单位矩阵。这意味着矩阵$A$的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
步骤 2：正交矩阵的性质
（1）正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即${A}^{-1}={A}^{T}$。因此，正交矩阵都是可逆的。
（2）正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
（3）正交矩阵的行列式值为$\pm 1$。这是因为行列式值的平方等于1，即$|A|^2=1$。
（4）两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵。这是因为如果$A$和$B$都是正交矩阵，则$(AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TEB=B^TB=E$，所以$AB$也是正交矩阵。
步骤 3：分析选项
选项（1）正交矩阵都是可逆的，这是正确的，因为正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
选项（2）正交矩阵的行向量两两正交，这是正确的，因为正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
选项（3）正交矩阵的行列式值为，这是不正确的，因为正交矩阵的行列式值为$\pm 1$。
选项（4）两正交矩阵的乘积还是正交矩阵，这是正确的，因为两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵。