题目
[题目]曲面 =(x)^2(1-sin y)+(y)^2(1-sin x) 在点(1,0,1)处-|||-的切平面方程为 __
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：定义函数
令 $F(x,y,z)={x}^{2}(1-\sin y)+{y}^{2}(1-\sin x)-z$，则点(1,0,1)满足隐函数定理的初始条件，因为 $F(1,0,1)=0$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $F$ 对 $x$、$y$ 和 $z$ 的偏导数：
${F}_{x}=2x(1-\sin y)-{y}^{2}\cos x$
${F}_{y}=-{x}^{2}\cos y+2y(1-\sin x)$
${F}_{z}=-1$
步骤 3：计算偏导数值
在点(1,0,1)处，偏导数的值为：
${F}_{x}(1,0,1)=2(1)(1-\sin 0)-0^2\cos 1=2$
${F}_{y}(1,0,1)=-1^2\cos 0+2(0)(1-\sin 1)=-1$
${F}_{z}(1,0,1)=-1$
步骤 4：确定切平面方程
根据点(1,0,1)处的偏导数值，切平面方程为：
$2(x-1)+(-1)(y-0)+(-1)(z-1)=0$
化简得：$2x-y-z-1=0$
令 $F(x,y,z)={x}^{2}(1-\sin y)+{y}^{2}(1-\sin x)-z$，则点(1,0,1)满足隐函数定理的初始条件，因为 $F(1,0,1)=0$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $F$ 对 $x$、$y$ 和 $z$ 的偏导数：
${F}_{x}=2x(1-\sin y)-{y}^{2}\cos x$
${F}_{y}=-{x}^{2}\cos y+2y(1-\sin x)$
${F}_{z}=-1$
步骤 3：计算偏导数值
在点(1,0,1)处，偏导数的值为：
${F}_{x}(1,0,1)=2(1)(1-\sin 0)-0^2\cos 1=2$
${F}_{y}(1,0,1)=-1^2\cos 0+2(0)(1-\sin 1)=-1$
${F}_{z}(1,0,1)=-1$
步骤 4：确定切平面方程
根据点(1,0,1)处的偏导数值，切平面方程为：
$2(x-1)+(-1)(y-0)+(-1)(z-1)=0$
化简得：$2x-y-z-1=0$