6． 设函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程 f’(x)=0 的实根个数为()．A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查导数的计算及导数零点的个数判断，涉及多项式函数的极值点分析。

解题核心思路：

1. 原函数分析：函数$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$是四次多项式，图像在相邻根之间必然存在极值点，因此导数$f'(x)$在这些区间内至少有一个零点。
2. 导数性质：三次多项式$f'(x)$最多有三个实根，结合罗尔定理，原函数在相邻根之间必有一个极值点，故导数有三个实根。

破题关键点：

• 极值点的存在性：四次函数在相邻根之间至少有一个极值点，对应导数的一个零点。
• 三次多项式的实根数量：三次多项式最多有三个实根，结合极值点数量可直接确定答案。

步骤1：分析原函数图像
函数$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$是四次多项式，首项系数为正，图像呈“U”型开口向上。其根为$x=0,1,2,3$，相邻根之间（$0$到$1$，$1$到$2$，$2$到$3$）必然存在极值点，因此导数$f'(x)$在这些区间内各有一个零点。

步骤2：导数的实根数量
导数$f'(x)$是三次多项式，最多有三个实根。根据罗尔定理，原函数在相邻根之间必有一个极值点，对应导数的一个零点。因此，导数共有3个实根。

步骤3：验证三次方程的根
展开$f(x)$得$f(x)=x^4-6x^3+11x^2-6x$，求导得：
$f'(x)=4x^3-18x^2+22x-6.$
通过试根法和因式分解可得：
$f'(x)=(x-3)(4x^2-6x+2)=0,$
解得$x=3$，$x=1$，$x=0.5$，共3个实根。