题目

(11)lim_(xto0)((2+e^frac(1)/(x))(1+e^(4)/(x) )+(sin x)/(|x|));

(11)$\lim_{x\to0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}} }+\frac{\sin x}{|x|}\right);$

题目解答

答案

当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，$\frac{4}{x} \to +\infty$，则 $$ \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} \approx \frac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{4}{x}}} = e^{-\frac{3}{x}} \to 0, $$ $$ \frac{\sin x}{|x|} = \frac{\sin x}{x} \to 1, $$ 故 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 1 = 1$。 当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，$\frac{4}{x} \to -\infty$，则 $$ \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} \to \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2, $$ $$ \frac{\sin x}{|x|} = -\frac{\sin x}{x} \to -1, $$ 故 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 - 1 = 1$。 由于左、右极限均为 $1$，原极限为 $\boxed{1}$。

解析

考查要点：本题主要考查分段函数在不同趋近方向下的极限计算，涉及指数函数和三角函数的极限性质，以及左右极限的判断。

解题核心思路：

  1. 分情况讨论：由于$x$趋近于$0$时，从右侧（$x \to 0^+$）和左侧（$x \to 0^-$）趋近会导致$\frac{1}{x}$和$\frac{4}{x}$的符号不同，需分别计算左右极限。
  2. 简化分式：当$x \to 0^+$时，指数项$e^{\frac{1}{x}}$和$e^{\frac{4}{x}}$趋于无穷大，通过比较指数大小简化分式；当$x \to 0^-$时，指数项趋于$0$，分式可直接化简。
  3. 处理三角函数：利用$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，结合$|x|$的符号处理，得到对应极限。

破题关键点：

  • 指数函数的趋近方向：明确$x$趋近于$0$的正负对$\frac{1}{x}$和$\frac{4}{x}$的影响。
  • 分式的近似化简：根据指数项的主导地位，忽略低阶项。
  • 绝对值的处理：将$\frac{\sin x}{|x|}$拆分为$x>0$和$x<0$两种情况。

当 $x \to 0^+$ 时：

  1. 分式部分：

    • $\frac{1}{x} \to +\infty$，$\frac{4}{x} \to +\infty$。
    • $e^{\frac{1}{x}}$和$e^{\frac{4}{x}}$均趋于无穷大，但$e^{\frac{4}{x}}$增长更快。
    • 分式近似为$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{4}{x}}} = e^{-\frac{3}{x}} \to 0$。

  2. 三角函数部分：

    • $\frac{\sin x}{|x|} = \frac{\sin x}{x} \to 1$。

  3. 总极限：

    • $0 + 1 = 1$。

当 $x \to 0^-$ 时：

  1. 分式部分：

    • $\frac{1}{x} \to -\infty$，$\frac{4}{x} \to -\infty$。
    • $e^{\frac{1}{x}} \to 0$，$e^{\frac{4}{x}} \to 0$。
    • 分式化简为$\frac{2}{1} = 2$。

  2. 三角函数部分：

    • $\frac{\sin x}{|x|} = -\frac{\sin x}{x} \to -1$。

  3. 总极限：

    • $2 - 1 = 1$。

结论：左右极限均为$1$，故原极限为$1$。