[题目]设区域 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1,xgeqslant 0} , 计算二重-|||-积分 int Ddfrac (1+xy)(1+{x)^2+(y)^2} dxdy.

步骤 1：将二重积分分解
将二重积分 $\int D\dfrac {1+xy}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}$ dxdy 分解为两个部分：
$$\int D\dfrac {1+xy}{1+{x}^{2}+{y}^{2}} = \int D\dfrac {1}{1+{x}^{2}+{y}^{2}} + \int D\dfrac {xy}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}$$

步骤 2：利用对称性
由于区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，而 $\dfrac {xy}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}$ 是关于 $x$ 的奇函数，因此在 $D$ 上的积分值为零：
$$\int D\dfrac {xy}{1+{x}^{2}+{y}^{2}} = 0$$

步骤 3：转换为极坐标
将 $\int D\dfrac {1}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}$ 转换为极坐标形式。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdrd\theta$，且 $x^2 + y^2 = r^2$。因此，积分变为：
$$\int D\dfrac {1}{1+{x}^{2}+{y}^{2}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{1} \dfrac{r}{1+r^2} dr$$

步骤 4：计算积分
计算内层积分：
$$\int_{0}^{1} \dfrac{r}{1+r^2} dr = \frac{1}{2} \ln(1+r^2) \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \ln 2$$
然后计算外层积分：
$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \cdot \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{\pi}{2} \ln 2$$