题目

设向量(alpha )_(1)=((1,1,-1))^T (alpha )_(2)=((0,2,1))^T,(alpha )_(1)=((1,1,-1))^T (alpha )_(2)=((0,2,1))^T, , 则 (alpha )_(1)=((1,1,-1))^T (alpha )_(2)=((0,2,1))^T,不能由(alpha )_(1)=((1,1,-1))^T (alpha )_(2)=((0,2,1))^T,线性表示。 ( )A. 对B. 错

设向量 $\alpha_1=(1,1,-1)^T,\alpha_2=(0,2,1)^T,$ $\alpha_3=(-1,1,2)^T,\alpha_4=(5,3,-6)^T$ , 则 $\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示。 ( )

A. 对

B. 错

题目解答

答案

首先，我们将题目中给出的向量表示为列向量，并构建增广矩阵：

$A = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & -6 \end{array}\right]$

接下来，我们对矩阵 $A$ 进行行初等变换，将其化为阶梯形矩阵：

$\begin{aligned} R_2 &= R_2 - R_1 \\ R_3 &= R_3 + R_1 \\ A' &= \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 2 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right] \\ R_2 &= \frac{1}{2}R_2 \\ A'' &= \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right] \\ R_3 &= R_3 - R_2 \\ A''' &= \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}$

经过行初等变换，我们得到了阶梯形矩阵 $A'''$ 。观察该矩阵，我们可以看到有两行主元（即非零行的第一个非零元素），而未知数的个数也为 $2$ ，因此该线性方程组有唯一解。

这意味着存在一组不全为零的系数 $k_1,k_2,k_3$ 使得 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=\alpha_4$ 成立，即向量 $\alpha_4$ 可以由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示。

综上所述，原题干的说法错误，答案选B. 错。

解析

步骤 1：构建增广矩阵
将向量${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$作为列向量，构建增广矩阵$A$，其中${\alpha }_{4}$作为增广部分。
步骤 2：行初等变换
对增广矩阵$A$进行行初等变换，将其化为阶梯形矩阵$A'$。
步骤 3：分析阶梯形矩阵
观察阶梯形矩阵$A'$，判断主元的个数与未知数的个数是否相等，从而判断线性方程组是否有唯一解。
步骤 4：判断线性表示
根据线性方程组是否有唯一解，判断向量${\alpha }_{4}$是否可以由向量组${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$线性表示。