题目
证明反常积分(int )_(1)^+infty dfrac (sin {x)^3}(sqrt {{x)^3}}dx绝对收敛.
证明反常积分
绝对收敛.
题目解答
答案
由于对
，有
由于
收敛
故由比较判别法可知：
收敛
故绝对收敛
故答案是：见解析.
解析
步骤 1：确定绝对值的上界
对于任意的$x \geq 1$，我们有$|\sin{x^3}| \leq 1$，因此$|\dfrac{\sin{x^3}}{\sqrt{x^3}}| \leq \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}$。
步骤 2：比较判别法
考虑积分${\int }_{1}^{+\infty }\dfrac {1}{\sqrt {{x}^{3}}}dx$，这是一个p-积分，其中$p = \frac{3}{2} > 1$，因此该积分收敛。
步骤 3：应用比较判别法
由于$|\dfrac{\sin{x^3}}{\sqrt{x^3}}| \leq \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}$，且${\int }_{1}^{+\infty }\dfrac {1}{\sqrt {{x}^{3}}}dx$收敛，根据比较判别法，${\int }_{1}^{+\infty }|\dfrac {\sin {x}^{3}}{\sqrt {{x}^{3}}}|dx$也收敛。
对于任意的$x \geq 1$，我们有$|\sin{x^3}| \leq 1$，因此$|\dfrac{\sin{x^3}}{\sqrt{x^3}}| \leq \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}$。
步骤 2：比较判别法
考虑积分${\int }_{1}^{+\infty }\dfrac {1}{\sqrt {{x}^{3}}}dx$，这是一个p-积分，其中$p = \frac{3}{2} > 1$，因此该积分收敛。
步骤 3：应用比较判别法
由于$|\dfrac{\sin{x^3}}{\sqrt{x^3}}| \leq \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}$，且${\int }_{1}^{+\infty }\dfrac {1}{\sqrt {{x}^{3}}}dx$收敛，根据比较判别法，${\int }_{1}^{+\infty }|\dfrac {\sin {x}^{3}}{\sqrt {{x}^{3}}}|dx$也收敛。