题目
求(x,y)=(x)^2+(y)^2+6x-12y+5的极值.
求
的极值.
题目解答
答案
解得：
∴再通过
，
∴时，
取得极小值。
然后代入
取得极小值
解析
步骤 1：求偏导数
对函数$f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}+6x-12y+5$分别对$x$和$y$求偏导数，得到：
${f}_{x}'(x,y)=2x+6$
${f}_{y}'(x,y)=2y-12$
步骤 2：求驻点
令偏导数等于0，解方程组：
$2x+6=0$
$2y-12=0$
解得：$x=-3$，$y=6$
步骤 3：判断极值类型
计算二阶偏导数：
$A={f}_{xx}''(x,y)=2$
$B={f}_{xy}''(x,y)=0$
$C={f}_{yy}''(x,y)=2$
计算判别式$\Delta =AC-{B}^{2}=4\gt 0$，且$A\gt 0$，因此在点$(-3,6)$处取得极小值。
步骤 4：计算极小值
将$x=-3$，$y=6$代入原函数$f(x,y)$，得到极小值：
$f(-3,6)={(-3)}^{2}+{6}^{2}+6(-3)-12(6)+5=-40$
对函数$f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}+6x-12y+5$分别对$x$和$y$求偏导数，得到：
${f}_{x}'(x,y)=2x+6$
${f}_{y}'(x,y)=2y-12$
步骤 2：求驻点
令偏导数等于0，解方程组：
$2x+6=0$
$2y-12=0$
解得：$x=-3$，$y=6$
步骤 3：判断极值类型
计算二阶偏导数：
$A={f}_{xx}''(x,y)=2$
$B={f}_{xy}''(x,y)=0$
$C={f}_{yy}''(x,y)=2$
计算判别式$\Delta =AC-{B}^{2}=4\gt 0$，且$A\gt 0$，因此在点$(-3,6)$处取得极小值。
步骤 4：计算极小值
将$x=-3$，$y=6$代入原函数$f(x,y)$，得到极小值：
$f(-3,6)={(-3)}^{2}+{6}^{2}+6(-3)-12(6)+5=-40$