题目
主观题 10分设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，求Z=X+Y的密度函数.
主观题 10分
设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，求Z=X+Y的密度函数.
题目解答
答案
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且都服从 $[0,1]$ 上的均匀分布。则 $Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可通过卷积公式求得：
1. **当 $0 \leq z < 1$ 时**：
积分范围为 $0 \leq x \leq z$，
\[
f_Z(z) = \int_0^z 1 \cdot 1 \, dx = z
\]
2. **当 $1 \leq z \leq 2$ 时**：
积分范围为 $z-1 \leq x \leq 1$，
\[
f_Z(z) = \int_{z-1}^1 1 \cdot 1 \, dx = 2 - z
\]
3. **当 $z < 0$ 或 $z > 2$ 时**：
$f_Z(z) = 0$
**答案：**
\[
\boxed{
f_Z(z) = \begin{cases}
z & 0 \leq z < 1 \\
2-z & 1 \leq z \leq 2 \\
0 & \text{其他}
\end{cases}
}
\]
解析
步骤 1：确定随机变量 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数
由于 $X$ 和 $Y$ 都服从 $[0,1]$ 上的均匀分布，它们的概率密度函数分别为：
\[ f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]
\[ f_Y(y) = \begin{cases} 1 & 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]
步骤 2：利用卷积公式求 $Z = X + Y$ 的概率密度函数
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可通过卷积公式求得：
\[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx \]
步骤 3：分段求解 $f_Z(z)$
1. 当 $0 \leq z < 1$ 时，积分范围为 $0 \leq x \leq z$，因为 $f_Y(z-x) = 1$ 当 $0 \leq z-x \leq 1$，即 $z-1 \leq x \leq z$，但 $z < 1$，所以 $0 \leq x \leq z$：
\[ f_Z(z) = \int_0^z 1 \cdot 1 \, dx = z \]
2. 当 $1 \leq z \leq 2$ 时，积分范围为 $z-1 \leq x \leq 1$，因为 $f_Y(z-x) = 1$ 当 $0 \leq z-x \leq 1$，即 $z-1 \leq x \leq z$，但 $z \leq 2$，所以 $z-1 \leq x \leq 1$：
\[ f_Z(z) = \int_{z-1}^1 1 \cdot 1 \, dx = 2 - z \]
3. 当 $z < 0$ 或 $z > 2$ 时，$f_Z(z) = 0$，因为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 在这些区间上都为 $0$。
由于 $X$ 和 $Y$ 都服从 $[0,1]$ 上的均匀分布，它们的概率密度函数分别为：
\[ f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]
\[ f_Y(y) = \begin{cases} 1 & 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]
步骤 2：利用卷积公式求 $Z = X + Y$ 的概率密度函数
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可通过卷积公式求得：
\[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx \]
步骤 3：分段求解 $f_Z(z)$
1. 当 $0 \leq z < 1$ 时，积分范围为 $0 \leq x \leq z$，因为 $f_Y(z-x) = 1$ 当 $0 \leq z-x \leq 1$，即 $z-1 \leq x \leq z$，但 $z < 1$，所以 $0 \leq x \leq z$：
\[ f_Z(z) = \int_0^z 1 \cdot 1 \, dx = z \]
2. 当 $1 \leq z \leq 2$ 时，积分范围为 $z-1 \leq x \leq 1$，因为 $f_Y(z-x) = 1$ 当 $0 \leq z-x \leq 1$，即 $z-1 \leq x \leq z$，但 $z \leq 2$，所以 $z-1 \leq x \leq 1$：
\[ f_Z(z) = \int_{z-1}^1 1 \cdot 1 \, dx = 2 - z \]
3. 当 $z < 0$ 或 $z > 2$ 时，$f_Z(z) = 0$，因为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 在这些区间上都为 $0$。