题目
int dfrac (x)(sqrt {2-3{x)^2}}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元
设 $t = \sqrt{2 - 3x^2}$，则 $t^2 = 2 - 3x^2$，从而 $2t dt = -6x dx$，即 $x dx = -\frac{1}{3} t dt$。
步骤 2：代入
将 $x dx = -\frac{1}{3} t dt$ 代入原积分，得到 $\int \frac{x}{\sqrt{2 - 3x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{3} t}{t} dt = -\frac{1}{3} \int dt$。
步骤 3：积分
计算积分 $-\frac{1}{3} \int dt = -\frac{1}{3} t + C$。
步骤 4：回代
将 $t = \sqrt{2 - 3x^2}$ 回代，得到 $-\frac{1}{3} \sqrt{2 - 3x^2} + C$。
设 $t = \sqrt{2 - 3x^2}$，则 $t^2 = 2 - 3x^2$，从而 $2t dt = -6x dx$，即 $x dx = -\frac{1}{3} t dt$。
步骤 2：代入
将 $x dx = -\frac{1}{3} t dt$ 代入原积分，得到 $\int \frac{x}{\sqrt{2 - 3x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{3} t}{t} dt = -\frac{1}{3} \int dt$。
步骤 3：积分
计算积分 $-\frac{1}{3} \int dt = -\frac{1}{3} t + C$。
步骤 4：回代
将 $t = \sqrt{2 - 3x^2}$ 回代，得到 $-\frac{1}{3} \sqrt{2 - 3x^2} + C$。