设曲线为y=((x-1))^2((x-3))^2，则其极值点个数为（ ）A.2B.3C.1D.0

本题考察利用导数求函数极值点的个数，关键在于通过求导找到导数为零的点（驻点），再判断这些驻点是否为极值点。

步骤1：求函数的导数

给定曲线方程 $y = (x - 1)^2(x - 3)^2$，为方便求导，先展开或直接使用乘积法则求导：
$y' = 2(x - 1)(x - 3)^2 + 2(x - 1)^2(x - 3)$
提取公因式 $2(x - 1)(x - 3)$：
$y' = 2(x - 1)(x - 3)\left[(x - 3) + (x - 1)\right] = 2(x - 1)(x - 3)(2x - 4) = 4(x - 1)(x - 2)(x - 3)$

步骤2：找驻点（导数为零的点）

令 $y' = 0$，解得驻点为：
$x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3$

步骤3：判断驻点是否为极值点

通过导数符号变化判断：

• $x = 1$：当 $x < 1$ 时，$y' < 0$（负）；当 $1 < x < 2$ 时，$y' > 0$（正），导数符号由负变正，故 $x = 1$ 是极小值点。
• $x = 2$：当 $1 < x < 2$ 时，$y' > 0$（正）；当 $2 < x < 3$ 时，$y' < 0$（负），导数符号由正变负，故 $x = 2$ 是极大值点。
• $x = 3$：当 $2 < x < 3$ 时，$y' < 0$（负）；当 $x > 3$ 时，$y' > 0$（正），导数符号由负变正，故 $x = 3$ 是极小值点。

结论

函数有 3 个极值点，分别为 $x = 1, 2, 3$。