2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。-|||-(1) dfrac (d)(dt)r(t)+3f(t)=2dfrac (d)(dt)e(t)-|||-(2) dfrac ({d)^2}(d{t)^2}r(t)+dfrac (d)(dt)cdot (t)+r(t)=dfrac (d)(dl)e(t)+e(t)-|||-(3) dfrac (d)(dl)r(t)+2r(t)=dfrac ({d)^2}(d{l)^2}e(t)+3dfrac (d)(dt)e(t)+3e(t) e(t)

步骤 1：求冲激响应 $h(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $\delta(t)$，得到 $\dfrac {d}{dt}f(t)+3r(t)=2\dfrac {d}{dt}\delta(t)$。
- 由于 $\dfrac {d}{dt}\delta(t)$ 是 $\delta(t)$ 的导数，我们可以通过求解微分方程来找到 $h(t)$。
- 令 $r(t) = h(t)$，则 $\dfrac {d}{dt}h(t)+3h(t)=2\dfrac {d}{dt}\delta(t)$。
- 通过求解这个微分方程，我们得到 $h(t) = 2s(t) - 6e^{-3t}u(t)$，其中 $s(t)$ 是单位斜坡函数，$u(t)$ 是单位阶跃函数。

步骤 2：求阶跃响应 $g(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $u(t)$，得到 $\dfrac {d}{dt}f(t)+3r(t)=2\dfrac {d}{dt}u(t)$。
- 由于 $\dfrac {d}{dt}u(t) = \delta(t)$，我们可以通过求解微分方程来找到 $g(t)$。
- 令 $r(t) = g(t)$，则 $\dfrac {d}{dt}g(t)+3g(t)=2\delta(t)$。
- 通过求解这个微分方程，我们得到 $g(t) = 2e^{-3t}u(t)$。

【答案】
(1) $h(t) = 2s(t) - 6e^{-3t}u(t)$
$g(t) = 2e^{-3t}u(t)$

### (2) $\dfrac {{d}^{2}}{d{t}^{2}}r(t)+\dfrac {d}{dt}r(t)+r(t)=\dfrac {d}{dt}e(t)+e(t)$

【解析】
步骤 1：求冲激响应 $h(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $\delta(t)$，得到 $\dfrac {{d}^{2}}{d{t}^{2}}h(t)+\dfrac {d}{dt}h(t)+h(t)=\dfrac {d}{dt}\delta(t)+\delta(t)$。
- 通过求解这个微分方程，我们得到 $h(t) = e^{-\frac{1}{2}t}[\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)]u(t)$。

步骤 2：求阶跃响应 $g(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $u(t)$，得到 $\dfrac {{d}^{2}}{d{t}^{2}}g(t)+\dfrac {d}{dt}g(t)+g(t)=\dfrac {d}{dt}u(t)+u(t)$。
- 由于 $\dfrac {d}{dt}u(t) = \delta(t)$，我们可以通过求解微分方程来找到 $g(t)$。
- 通过求解这个微分方程，我们得到 $g(t) = e^{-\frac{1}{2}t}[-\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)]u(t)$。