题目
2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。-|||-(1) dfrac (d)(dt)r(t)+3f(t)=2dfrac (d)(dt)e(t)-|||-(2) dfrac ({d)^2}(d{t)^2}r(t)+dfrac (d)(dt)cdot (t)+r(t)=dfrac (d)(dl)e(t)+e(t)-|||-(3) dfrac (d)(dl)r(t)+2r(t)=dfrac ({d)^2}(d{l)^2}e(t)+3dfrac (d)(dt)e(t)+3e(t) e(t)

题目解答
答案

解析
步骤 1:求冲激响应 $h(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $\delta(t)$,得到 $\dfrac {d}{dt}f(t)+3r(t)=2\dfrac {d}{dt}\delta(t)$。
- 由于 $\dfrac {d}{dt}\delta(t)$ 是 $\delta(t)$ 的导数,我们可以通过求解微分方程来找到 $h(t)$。
- 令 $r(t) = h(t)$,则 $\dfrac {d}{dt}h(t)+3h(t)=2\dfrac {d}{dt}\delta(t)$。
- 通过求解这个微分方程,我们得到 $h(t) = 2s(t) - 6e^{-3t}u(t)$,其中 $s(t)$ 是单位斜坡函数,$u(t)$ 是单位阶跃函数。
步骤 2:求阶跃响应 $g(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $u(t)$,得到 $\dfrac {d}{dt}f(t)+3r(t)=2\dfrac {d}{dt}u(t)$。
- 由于 $\dfrac {d}{dt}u(t) = \delta(t)$,我们可以通过求解微分方程来找到 $g(t)$。
- 令 $r(t) = g(t)$,则 $\dfrac {d}{dt}g(t)+3g(t)=2\delta(t)$。
- 通过求解这个微分方程,我们得到 $g(t) = 2e^{-3t}u(t)$。
【答案】
(1) $h(t) = 2s(t) - 6e^{-3t}u(t)$
$g(t) = 2e^{-3t}u(t)$
### (2) $\dfrac {{d}^{2}}{d{t}^{2}}r(t)+\dfrac {d}{dt}r(t)+r(t)=\dfrac {d}{dt}e(t)+e(t)$
【解析】
步骤 1:求冲激响应 $h(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $\delta(t)$,得到 $\dfrac {{d}^{2}}{d{t}^{2}}h(t)+\dfrac {d}{dt}h(t)+h(t)=\dfrac {d}{dt}\delta(t)+\delta(t)$。
- 通过求解这个微分方程,我们得到 $h(t) = e^{-\frac{1}{2}t}[\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)]u(t)$。
步骤 2:求阶跃响应 $g(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $u(t)$,得到 $\dfrac {{d}^{2}}{d{t}^{2}}g(t)+\dfrac {d}{dt}g(t)+g(t)=\dfrac {d}{dt}u(t)+u(t)$。
- 由于 $\dfrac {d}{dt}u(t) = \delta(t)$,我们可以通过求解微分方程来找到 $g(t)$。
- 通过求解这个微分方程,我们得到 $g(t) = e^{-\frac{1}{2}t}[-\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)]u(t)$。
- 将 $e(t)$ 替换为 $\delta(t)$,得到 $\dfrac {d}{dt}f(t)+3r(t)=2\dfrac {d}{dt}\delta(t)$。
- 由于 $\dfrac {d}{dt}\delta(t)$ 是 $\delta(t)$ 的导数,我们可以通过求解微分方程来找到 $h(t)$。
- 令 $r(t) = h(t)$,则 $\dfrac {d}{dt}h(t)+3h(t)=2\dfrac {d}{dt}\delta(t)$。
- 通过求解这个微分方程,我们得到 $h(t) = 2s(t) - 6e^{-3t}u(t)$,其中 $s(t)$ 是单位斜坡函数,$u(t)$ 是单位阶跃函数。
步骤 2:求阶跃响应 $g(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $u(t)$,得到 $\dfrac {d}{dt}f(t)+3r(t)=2\dfrac {d}{dt}u(t)$。
- 由于 $\dfrac {d}{dt}u(t) = \delta(t)$,我们可以通过求解微分方程来找到 $g(t)$。
- 令 $r(t) = g(t)$,则 $\dfrac {d}{dt}g(t)+3g(t)=2\delta(t)$。
- 通过求解这个微分方程,我们得到 $g(t) = 2e^{-3t}u(t)$。
【答案】
(1) $h(t) = 2s(t) - 6e^{-3t}u(t)$
$g(t) = 2e^{-3t}u(t)$
### (2) $\dfrac {{d}^{2}}{d{t}^{2}}r(t)+\dfrac {d}{dt}r(t)+r(t)=\dfrac {d}{dt}e(t)+e(t)$
【解析】
步骤 1:求冲激响应 $h(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $\delta(t)$,得到 $\dfrac {{d}^{2}}{d{t}^{2}}h(t)+\dfrac {d}{dt}h(t)+h(t)=\dfrac {d}{dt}\delta(t)+\delta(t)$。
- 通过求解这个微分方程,我们得到 $h(t) = e^{-\frac{1}{2}t}[\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)]u(t)$。
步骤 2:求阶跃响应 $g(t)$
- 将 $e(t)$ 替换为 $u(t)$,得到 $\dfrac {{d}^{2}}{d{t}^{2}}g(t)+\dfrac {d}{dt}g(t)+g(t)=\dfrac {d}{dt}u(t)+u(t)$。
- 由于 $\dfrac {d}{dt}u(t) = \delta(t)$,我们可以通过求解微分方程来找到 $g(t)$。
- 通过求解这个微分方程,我们得到 $g(t) = e^{-\frac{1}{2}t}[-\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)]u(t)$。