[4.5]设随机变量X的分布函数为F(x),则随机变量 =2x+1 的分布函数 G(y)=()-|||-(A) (dfrac (1)(2)y+1) (B) 2F(y)+1 (C) dfrac (1)(2)F(y)-dfrac (1)(2) (D) (dfrac (1)(2)y-dfrac (1)(2))

考查要点：本题主要考查随机变量函数的分布函数求解方法，需要掌握分布函数的定义以及变量代换的技巧。

解题核心思路：

1. 分布函数的定义：随机变量Y的分布函数G(y) = P(Y ≤ y)。
2. 变量代换：将Y = 2X + 1代入不等式Y ≤ y，转化为关于X的不等式，进而利用X的分布函数F(x)表达。
3. 选项匹配：通过代数变形，找到与选项中形式一致的表达式。

破题关键点：

• 正确将Y ≤ y转化为X的约束条件，即X ≤ (y - 1)/2。
• 注意运算顺序：先减1，再除以2，避免符号错误。

根据分布函数的定义，Y = 2X + 1的分布函数G(y)为：
$G(y) = P(Y \leq y) = P(2X + 1 \leq y)$

步骤1：变量代换
将不等式变形：
$2X + 1 \leq y \implies 2X \leq y - 1 \implies X \leq \frac{y - 1}{2}$

步骤2：利用X的分布函数
根据X的分布函数F(x)，有：
$P\left(X \leq \frac{y - 1}{2}\right) = F\left(\frac{y - 1}{2}\right)$

步骤3：匹配选项
将$\frac{y - 1}{2}$展开为$\frac{y}{2} - \frac{1}{2}$，对应选项D的表达式：
$F\left(\frac{y}{2} - \frac{1}{2}\right)$

错误选项分析：

• A：$\frac{1}{2}y + 1$符号错误，正确应为$\frac{y - 1}{2}$。
• B、C：形式不符合分布函数的取值范围（可能超出[0,1]）。