题目

设随机变量序列X1,X2,···独立同分布，X1,X2,···0(i=1,2,dots)" data-width="338" data-height="27" data-size="4237" data-format="png" style="max-width:100%">，记X1,X2,···，则有X1,X2,···，对任意X1,X2,···0" data-width="46" data-height="19" data-size="700" data-format="png" style="max-width:100%">成立.（）A.对B.错

设随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots$ 独立同分布， $EX_i=\mu,D(X_i)=\sigma^2>0(i=1,2,\dots)$ ，记 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ ，则有 $\lim_{n\to\infty}P\left\{\mid\overline{X}-\mu\mid\le\varepsilon\right\}=0$ ，对任意 $\varepsilon>0$ 成立.（）

A.对

B.错

题目解答

答案

$E\left(\overline{X}\right)=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE\left(X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mu=\mu$ ， $D\left(\overline{X}\right)=D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nD\left(X_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}$ ，由切比雪夫不等式可得 $\lim_{n\to\infty}P\left\{\mid\overline{X}-\mu\mid\le\varepsilon\right\}\ge\lim_{n\to\infty}\left[1-\frac{D\left(\overline{X}\right)}{\varepsilon^2}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[1-\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\right]=1$ ，随机变量概率取值范围为 $0\le\lim_{n\to\infty}P\left\{\mid\overline{X}-\mu\mid\le\varepsilon\right\}\le1$ ，则 $\lim_{n\to\infty}P\left\{\mid\overline{X}-\mu\mid\le\varepsilon\right\}=1$ ，因此选择B。