(2008年试题,一)设函数f(x)在(一∞,+∞)内单调有界,(xn)为数列,下列命题正确的是( )。A. 若(xn)收敛,则(f(xn))收敛B. 若(xn)单调,则(f(xn))收敛C. 若(f(xn))收敛,则(xn)收敛D. 若(f(xn))单调,则(xn)收敛

考查要点：本题主要考查单调有界函数与数列收敛性的关系，需结合单调有界定理及函数性质进行分析。

解题核心思路：

1. 函数性质：函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调有界，因此其任意单调子数列的像数列必单调有界，从而收敛。
2. 数列性质：需判断不同条件下数列或其像数列的收敛性，特别注意单调有界定理的应用。

破题关键点：

• 选项B的关键在于：若$\{x_n\}$单调，则$\{f(x_n)\}$单调且有界，根据单调有界定理直接得证。
• 其他选项需构造反例排除（如选项A中$f(x)$不连续时$\{f(x_n)\}$可能不收敛）。

选项分析

选项A

若$\{x_n\}$收敛，则$\{f(x_n)\}$收敛

• 错误。反例：设$f(x)$在$x_0$处不连续，且$\{x_n\}$收敛到$x_0$，则$\{f(x_n)\}$可能在$f(x_0^-)$与$f(x_0^+)$间震荡而不收敛。

选项B

若$\{x_n\}$单调，则$\{f(x_n)\}$收敛

• 正确。
  1. 单调性：$\{x_n\}$单调，$f(x)$单调，故$\{f(x_n)\}$单调。
  2. 有界性：$f(x)$整体有界，故$\{f(x_n)\}$有界。
  3. 收敛性：由单调有界定理，$\{f(x_n)\}$收敛。

选项C

若$\{f(x_n)\}$收敛，则$\{x_n\}$收敛

• 错误。反例：设$f(x)$为单调递增且有界（如$f(x)=\arctan x$），取$\{x_n\}$为发散数列（如$x_n = n$），则$\{f(x_n)\}$收敛于$\frac{\pi}{2}$，但$\{x_n\}$不收敛。

选项D

若$\{f(x_n)\}$单调，则$\{x_n\}$收敛

• 错误。反例：设$f(x)$为单调递增且有界（如$f(x)=1-\frac{1}{x}$当$x>0$），取$\{x_n\}$为单调发散数列（如$x_n = n$），则$\{f(x_n)\}$单调收敛，但$\{x_n\}$不收敛。