题目
简答题(共5题，50.0分)19、(10.0分)解线性方程组(10分)}x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)=1 x_(1)+2x_(2)-x_(3)+3x_(4)=2 2x_(1)+3x_(2)+4x_(4)=3.
简答题(共5题，50.0分)
19、(10.0分)解线性方程组
(10分)
$\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\
x_{1}+2x_{2}-x_{3}+3x_{4}=2 \\
2x_{1}+3x_{2}+4x_{4}=3
\end{cases}.$
题目解答
答案
为了求解线性方程组
\[
\begin{cases}
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 \\
x_{1} + 2x_{2} - x_{3} + 3x_{4} = 2 \\
2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{4} = 3
\end{cases},
\]
我们首先将方程组写成增广矩阵的形式：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 0 & 4 & 3
\end{pmatrix}.
\]
接下来，我们对这个增广矩阵进行初等行变换，以将其化为行阶梯形或行最简形。首先，从第二行中减去第一行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -2 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 0 & 4 & 3
\end{pmatrix}.
\]
然后，从第三行中减去第一行的两倍：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -2 & 2 & 1
\end{pmatrix}.
\]
我们发现第三行与第二行完全相同，因此可以将第三行减去第二行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
现在，矩阵已经化为了行阶梯形。我们可以将这个矩阵转换回方程组：
\[
\begin{cases}
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 \\
x_{2} - 2x_{3} + 2x_{4} = 1
\end{cases}.
\]
从第二个方程中解出 $x_2$：
\[
x_2 = 1 + 2x_3 - 2x_4.
\]
将 $x_2$ 的表达式代入第一个方程：
\[
x_1 + (1 + 2x_3 - 2x_4) + x_3 + x_4 = 1.
\]
合并同类项：
\[
x_1 + 3x_3 - x_4 + 1 = 1.
\]
从两边减去1：
\[
x_1 + 3x_3 - x_4 = 0.
\]
解出 $x_1$：
\[
x_1 = x_4 - 3x_3.
\]
因此，方程组的通解为：
\[
\begin{cases}
x_1 = x_4 - 3x_3 \\
x_2 = 1 + 2x_3 - 2x_4
\end{cases},
\]
其中 $x_3$ 和 $x_4$ 是自由变量。用向量的形式表示，通解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-3x_3 + x_4 \\
1 + 2x_3 - 2x_4 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix}
-3 \\
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
所以，线性方程组的解为：
\[
\boxed{\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix}
-3 \\
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}}.
\]
解析
考查要点：本题主要考查线性方程组的解法，特别是增广矩阵的初等行变换以及通解的结构。由于方程组未知数个数多于方程个数，需确定自由变量并表达通解。
解题核心思路：
- 构造增广矩阵，通过行变换化为行阶梯形或行最简形。
- 确定自由变量，将主变量用自由变量表示。
- 写出通解，结合特解和齐次解的线性组合形式。
破题关键点：
- 行变换的正确性：通过消元法逐步简化矩阵。
- 自由变量的选择：未被主元对应的列确定的变量为自由变量。
- 解的表达形式：明确特解和基础解系的向量表示。
步骤1：构造增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 2 & -1 & 3 & 2 \\2 & 3 & 0 & 4 & 3\end{pmatrix}$
步骤2：初等行变换
-
消去第二行的第一个元素：
第二行减去第一行：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ -
消去第三行的第一个元素：
第三行减去2倍第一行：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ -
消去第三行的第二个元素：
第三行减去第二行：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
步骤3：回代求解
-
从第二行方程解出$x_2$：
$x_2 = 1 + 2x_3 - 2x_4$ -
代入第一行方程求$x_1$：
$x_1 + (1 + 2x_3 - 2x_4) + x_3 + x_4 = 1$
化简得：
$x_1 = x_4 - 3x_3$
步骤4：通解表达
- 自由变量：$x_3$和$x_4$。
- 通解形式：
$\begin{cases} x_1 = x_4 - 3x_3 \\ x_2 = 1 + 2x_3 - 2x_4 \\ x_3 = x_3 \\ x_4 = x_4 \end{cases}$
向量形式为：
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$