题目
已知三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),则向量overrightarrow(CA)和overrightarrow(CB)之间的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
已知三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),则向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角为( )
- A. 30°
- B. 60°
- C. 90°
- D. 120°
题目解答
答案
解:三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),
$\overrightarrow{CA}$=(-1,0,-1),$\overrightarrow{CB}$=(1,1,0),
cos<$\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$>=$\frac{\overrightarrow{CA}\bullet \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\bullet |\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}\bullet \sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$,
则向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角为120°.
故选:D.
$\overrightarrow{CA}$=(-1,0,-1),$\overrightarrow{CB}$=(1,1,0),
cos<$\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$>=$\frac{\overrightarrow{CA}\bullet \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\bullet |\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}\bullet \sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$,
则向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角为120°.
故选:D.
解析
步骤 1:计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$
向量$\overrightarrow{CA}$的坐标为A点坐标减去C点坐标,即$\overrightarrow{CA} = (1-2, 0-0, 0-1) = (-1, 0, -1)$。
向量$\overrightarrow{CB}$的坐标为B点坐标减去C点坐标,即$\overrightarrow{CB} = (3-2, 1-0, 1-1) = (1, 1, 0)$。
步骤 2:计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的点积
向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的点积为$(-1) \times 1 + 0 \times 1 + (-1) \times 0 = -1$。
步骤 3:计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的模
向量$\overrightarrow{CA}$的模为$\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$。
向量$\overrightarrow{CB}$的模为$\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$。
步骤 4:计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角
向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角余弦值为$\frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$。
因此,向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角为$120°$。
向量$\overrightarrow{CA}$的坐标为A点坐标减去C点坐标,即$\overrightarrow{CA} = (1-2, 0-0, 0-1) = (-1, 0, -1)$。
向量$\overrightarrow{CB}$的坐标为B点坐标减去C点坐标,即$\overrightarrow{CB} = (3-2, 1-0, 1-1) = (1, 1, 0)$。
步骤 2:计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的点积
向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的点积为$(-1) \times 1 + 0 \times 1 + (-1) \times 0 = -1$。
步骤 3:计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的模
向量$\overrightarrow{CA}$的模为$\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$。
向量$\overrightarrow{CB}$的模为$\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$。
步骤 4:计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角
向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角余弦值为$\frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$。
因此,向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角为$120°$。