设 y=y(x)由方程y=y(x) 确定求 y=y(x)

考查要点：本题主要考查隐函数求导及极限的计算，涉及泰勒展开或洛必达法则的应用。关键在于通过隐函数求导得到二阶导数，进而求解极限。

解题思路：

1. 确定初始值：当$x=0$时，代入方程求得$y=1$；
2. 隐函数求导：对原方程求一阶导数和二阶导数，代入$x=0$处的值；
3. 应用洛必达法则：将原极限转化为二阶导数的形式，最终通过$y''(0)$的值求解。

步骤1：确定初始值

当$x=0$时，代入方程$x^3 + y^3 + xy = 1$，得：
$0^3 + y^3 + 0 \cdot y = 1 \implies y^3 = 1 \implies y = 1.$

步骤2：求一阶导数$y'(0)$

对原方程两边关于$x$求导：
$3x^2 + 3y^2 y' + y + x y' = 0.$
整理得：
$y' = -\frac{3x^2 + y}{3y^2 + x}.$
代入$x=0$，$y=1$：
$y'(0) = -\frac{3 \cdot 0^2 + 1}{3 \cdot 1^2 + 0} = -\frac{1}{3}.$

步骤3：求二阶导数$y''(0)$

对$y' = -\frac{3x^2 + y}{3y^2 + x}$再次求导，应用商的导数法则：
$y'' = \frac{(6x + y')(3y^2 + x) - (3x^2 + y)(6y y' + 1)}{(3y^2 + x)^2}.$
代入$x=0$，$y=1$，$y'=-\frac{1}{3}$：

• 分子：
  $(6 \cdot 0 + (-\frac{1}{3}))(3 \cdot 1^2 + 0) - (3 \cdot 0^2 + 1)(6 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{3}) + 1) \\ = (-\frac{1}{3}) \cdot 3 - 1 \cdot (-2 + 1) \\ = -1 + 1 = 0.$
• 分母：
  $(3 \cdot 1^2 + 0)^2 = 9.$
  因此：
  $y''(0) = \frac{0}{9} = 0.$

步骤4：应用洛必达法则

原极限为$\frac{0}{0}$型，连续两次应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \frac{3y + x - 3}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3y' + 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3y''}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0.$