题目
案例12(工人工资定价问题)现有一个木工、一个电工、一个油漆工三人相互同意-|||-彼此装修他们自己的房子,在装修之前,他们约定:(1)每人总共工作10天(包括给-|||-自己家干活在内);(2)每人的日工资根据一般的市价在 backsim 80 元之间;(3)每人的日-|||-工资数应使得每人的总收入与总支出相等,下面的表格是他们工作天数的分配方-|||-案,根据分配方案表,确定他们每人的日工资.-|||-表 3-1 工作天数分配表-|||-天数 工种 木工 电工 油漆工-|||-在木工家的工作天数 2 1 6-|||-在电工家的工作天数 4 5 1-|||-在油漆工家的工作天数 4 4 3
题目解答
答案
解析
步骤 1：建立方程组
根据题目中给出的条件，我们可以建立一个方程组来表示每个人的总收入与总支出相等。设 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 分别表示木工、电工、油漆工的日工资。根据表中的数据，可以得到以下方程组：
$$
\left \{ \begin{matrix}
2x_1 + x_2 + 6x_3 = 10x_1 \\
4x_1 + 5x_2 + x_3 = 10x_2 \\
4x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 10x_3
\end{matrix} \right.
$$
步骤 2：化简方程组
将方程组化简为齐次线性方程组，即：
$$
\left \{ \begin{matrix}
-8x_1 + x_2 + 6x_3 = 0 \\
4x_1 - 5x_2 + x_3 = 0 \\
4x_1 + 4x_2 - 7x_3 = 0
\end{matrix} \right.
$$
步骤 3：求解方程组
求解上述齐次线性方程组，得到方程组的全部解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
k
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
$$
其中 $k$ 为任意实数。
步骤 4：确定日工资
由于日工资在 $60\sim 80$ 元之间，故取 $k=72$，得日工资分别为：
$$
x_1 = 62, \quad x_2 = 64, \quad x_3 = 72
$$
根据题目中给出的条件，我们可以建立一个方程组来表示每个人的总收入与总支出相等。设 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 分别表示木工、电工、油漆工的日工资。根据表中的数据，可以得到以下方程组：
$$
\left \{ \begin{matrix}
2x_1 + x_2 + 6x_3 = 10x_1 \\
4x_1 + 5x_2 + x_3 = 10x_2 \\
4x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 10x_3
\end{matrix} \right.
$$
步骤 2：化简方程组
将方程组化简为齐次线性方程组，即：
$$
\left \{ \begin{matrix}
-8x_1 + x_2 + 6x_3 = 0 \\
4x_1 - 5x_2 + x_3 = 0 \\
4x_1 + 4x_2 - 7x_3 = 0
\end{matrix} \right.
$$
步骤 3：求解方程组
求解上述齐次线性方程组，得到方程组的全部解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
k
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
$$
其中 $k$ 为任意实数。
步骤 4：确定日工资
由于日工资在 $60\sim 80$ 元之间，故取 $k=72$，得日工资分别为：
$$
x_1 = 62, \quad x_2 = 64, \quad x_3 = 72
$$