若f(x)在 (-infty ,+infty ) 内处处有导数,则其导数f`(x)必处处连续A.正确B.错误

考查要点：本题主要考查可导函数的导数连续性这一概念的理解。关键在于明确可导与导数连续的关系。

解题核心思路：
需判断命题“若函数$f(x)$在全体实数范围内处处可导，则其导数$f'(x)$必定连续”是否成立。
核心矛盾点在于：函数在某点可导，并不能保证导数在该点连续。即使函数在整个实数范围内处处可导，其导数仍可能在某些点不连续。

破题关键点：
通过构造反例（如$f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$在$x=0$处的情况），说明存在处处可导但导数不连续的函数，从而推翻原命题。

反例分析：
考虑函数
$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\0, & x = 0.\end{cases}$

1. 可导性验证：

   • 当$x \neq 0$时，$f(x)$由基本初等函数构成，显然可导，导数为
     $f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}.$
   • 当$x = 0$时，利用导数定义：
     $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin \frac{1}{h}}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0.$
     因此，$f(x)$在全体实数上可导。

2. 导数连续性分析：

   • 当$x \neq 0$时，$f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$。
   • 当$x \to 0$时，第一项$2x \sin \frac{1}{x}$趋近于$0$，但第二项$-\cos \frac{1}{x}$在$x \to 0$时震荡于$-1$和$1$之间，导致$f'(x)$在$x=0$处无极限。
   • 因此，$f'(x)$在$x=0$处不连续。

结论：
存在函数$f(x)$在全体实数上可导，但其导数$f'(x)$不连续。原命题不成立。