3.设随机变量 sim U(0,2), 求 =(X)^2 的密度函数.

步骤 1：确定随机变量 $X$ 的分布
$X$ 是一个均匀分布的随机变量，其概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text{其他}
\end{array}
\right.
$$

步骤 2：求 $Y = X^2$ 的累积分布函数
$Y$ 的累积分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的累积分布函数 $F_X(x)$ 来求得。对于 $0 \leq y \leq 4$，有：
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})
$$
由于 $X$ 的取值范围是 $[0, 2]$，所以：
$$
F_Y(y) = P(0 \leq X \leq \sqrt{y}) = \int_0^{\sqrt{y}} f_X(x) \, dx = \int_0^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} \, dx = \frac{\sqrt{y}}{2}
$$
对于 $y < 0$ 或 $y > 4$，$F_Y(y)$ 分别为 $0$ 和 $1$。

步骤 3：求 $Y = X^2$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 是 $F_Y(y)$ 的导数：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( \frac{\sqrt{y}}{2} \right) = \frac{1}{4\sqrt{y}}
$$
对于 $y < 0$ 或 $y > 4$，$f_Y(y)$ 为 $0$。