题目

叙述有界闭域上二元连续函数的一致连续性定理

题目解答

答案

解析

核心要点：本题要求叙述有界闭域上二元连续函数的一致连续性定理，其核心是理解一致连续性在有界闭域上的表现。
关键思路：

  1. 一致连续性与普通连续性的区别在于，对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在统一的$\delta > 0$，使得所有点对都满足条件，而非每个点单独选择$\delta$。
  2. 有界闭域（即紧致集）的性质是定理成立的关键，紧致性保证了连续函数的一致连续性。
  3. 定理本质是Heine-Cantor定理在二元函数上的具体表述。

定理陈述：
设$D \subset \mathbb{R}^2$是有界闭域，函数$f(x,y)$在$D$上连续，则$f$在$D$上一致连续。

关键解释：

  1. 条件：
    • $D$是有界闭域（即紧致集）。
    • $f$在$D$上每一点都连续。
  2. 结论：
    • 对于任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$（与点的位置无关），使得对任意两点$(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in D$，只要欧氏距离$\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} < \delta$，就有$|f(x_1,y_1) - f(x_2,y_2)| < \varepsilon$。

证明思路（简要）：
利用紧致集的有限覆盖性，将局部连续性（每个点的$\delta$邻域）通过有限个邻域覆盖整个$D$，从而得到统一的$\delta$。